Picard-Lindelöf

14.12.2017, 13:26

9halbe

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Picard-Lindelöf

Meine Frage:
Hallo,

$\begin{eqnarray*} y'=-t+y^2, y(0)=0 \end{eqnarray*}$

a) Für welche Zylinder Za,b = [-a, a] × [-b, b] (mit a, b > 0) sind alle
Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf bei diesem AWP erfüllt?

b) Sei $\begin{eqnarray*} \alpha := min{a, \frac{b}{M}} mit M := sup{|-t + y^2| : (t, y) aus Z_{a,b}} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \leq \frac{1}{\sqrt[3]{4} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu a)
Muss ich die DGL erst lösen? Z.b, mit Trennung der Variablen? Dann würde ich den Anfangswert einsetzen. Kann ich so vorgehen?

14.12.2017, 13:56

IfindU

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RE: Picard Lindelöf
Es steht ja nicht, dass du eine Lösung angeben sollst, die Existenz einer Lösung begründen sollst oder ähnliches. Dort steht du sollst $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ angeben, so dass auf $\begin{eqnarray*} Z_{a,b} \end{eqnarray*}$ die Voraussetzungen vom Satz von Picard-Lindelöf erfüllt sind. Also musst du mal nachschauen was das für Voraussetzungen sind

14.12.2017, 19:06

9halbe

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Danke für deine Antwort! smile

smile

Okay, als Definition von dem Zylinder haben wir aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} Z_{a,b}={(t,y)\in RxR^n | |t-t_0|\leq a, ||Y-Y_0||\leq b} \end{eqnarray*}$

t_0=0 und y_0=0 kenne ich ja, aber wie kann ich das ausrechnen?

14.12.2017, 19:39

IfindU

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Das ist die Definition des Zylinders. Nicht die Voraussetzungen vom Satz von Picard-Lindelöf. Wie gesagt, du willst diese nachprüfen, dann musst du die erst einmal nachschlagen.

17.12.2017, 17:53

9halbe

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Okay, also die Voraussetzung ist, dass f Lipschitz stetig ist. Meinst du das? Also es muss eine Konstante L>0 existieren.

18.12.2017, 11:36

IfindU

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Ja, den Satz werde ich meinen. Aber nun musst du präzise werden. Was ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , was ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ? Wenn du das hast, könnten wir langsam die Aufgabe bearbeiten.

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18.12.2017, 14:28

9halbe

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Okay, also das hier habe ich in meinen Unterlagen gefunden.

f ist Lipschitzstetig genau dann wenn

$\begin{eqnarray*} \exists L\geq 0\forall (x,y),(x,yschlange)\in G: ||f(x,y)-f(x,yschlange)||\leq L*||y-yschlange|| mit G\in RxR^n und f:G->R^n stetig \end{eqnarray*}$

Ich weiß noch nicht wie mir das helfen soll verwirrt

verwirrt

18.12.2017, 14:31

IfindU

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Das ist die Definition von Lipschitz-stetig.

Nun wieder zurück zum Satz von Picard-Lindelöf. Er fordert Lipschitzstetigkeit von einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und folgert daraus Existenz und Eindeutigkeit der Differentialgleichung. Und damit es etwas vorwärts geht:
Die typische DGL ist hier von der Form $\begin{eqnarray*} y' = f(t, y) \end{eqnarray*}$ . Du hast $\begin{eqnarray*} y' = -t + y^2 \end{eqnarray*}$ gegeben, jetzt musst du daraus das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstruieren. Dann können wir prüfen, wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lipschitz stetig ist.

18.12.2017, 14:34

9halbe

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Dankeschön!v smile

smile

Okay also, wenn y'=f(t,y) ist dann ist meine Funktion f also f=-t+y^2

Oder?

18.12.2017, 14:41

IfindU

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Argumente schaden nicht, also $\begin{eqnarray*} f(t,y) = -t + y^2 \end{eqnarray*}$ . Nun hast du das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und nun musst du die Lipschitzkonstante auf $\begin{eqnarray*} [-a, a] \times [-b, b] \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen. ~~Dort wo $\begin{eqnarray*} L < 1 \end{eqnarray*}$ ist, sind die Voraussetzungen vom Satz von Picard-Lindelöf erfüllt und damit hätten wir a).~~
Streich das, gerade etwas durcheinander gebracht.

Lipschitz stetig brauchen wir nur in der zweiten Variable (deswegen auch deine Definition vom Skript). Dann rechne mal.

18.12.2017, 14:51

9halbe

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Okay also:

$\begin{eqnarray*} ||-t+y^2+t-yschlange^2|| = ||y^2-yschlange^2|| \end{eqnarray*}$

Jetzt fällt also das t komplett weg. Ich muss ja eigentlich auf

$\begin{eqnarray*} L* ||y-yschlange|| \end{eqnarray*}$

kommen. Kann ich die Quadratwurzel ziehen? Aber das L ist dann einfach 1 und es gilt die Gleichheit?

18.12.2017, 15:07

IfindU

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Du solltest wissen, dass $\begin{eqnarray*} g(y) = y^2 \end{eqnarray*}$ nicht Lipschitz-stetig ist. Es ist $\begin{eqnarray*} y^2 - \widetilde y^2 = (y - \widetilde y) \cdot (y + \widetilde y) \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} L = \max |y + \widetilde y| \end{eqnarray*}$ , wobei man das Maximum über die möglichen Werte von $\begin{eqnarray*} y, \widetilde y \end{eqnarray*}$ nehmen muss. Hier kommt rein, dass man über einen Zylinder $\begin{eqnarray*} Z_{a,b} \end{eqnarray*}$ redet.

18.12.2017, 15:37

9halbe

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Hat das was mit dem Anfangswert zu tun? Y_0 St ja 0. Aber wenn ich dann das max von 0+0 nehme...
Woher soll ich denn diese Werte nehmen? Ich stehe echt komplett auf dem Schlauch, sorry verwirrt

verwirrt

18.12.2017, 15:49

IfindU

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Minimal. Der Wert hängt einzig und alleine vom Zylinder $\begin{eqnarray*} Z_{a,b} \end{eqnarray*}$ ab. Um genau zu sein hier nur vom Wert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ lebt ja auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-b,b] \end{eqnarray*}$ .

18.12.2017, 15:56

9halbe

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Ja und für b soll ja gelten, dass ||y-y_0||=<b ist.

Aber was sind denn die maximalen möglichen Werte von y und yschlange?

18.12.2017, 16:00

IfindU

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Wenn $\begin{eqnarray*} (t,y) \in Z_{a,b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (t, \widetilde y) \in Z_{a,b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Z_{a,b} = [-a,+a] \times [-b,+b] \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} |y + \widetilde y| \leq |b + b| = 2b \end{eqnarray*}$ ....

18.12.2017, 17:18

9halbe

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Achso..

verwirrt

Also ist

$\begin{eqnarray*} L \leq 2b \end{eqnarray*}$

Umgestellt: $\begin{eqnarray*} b \geq 2/L \end{eqnarray*}$ sein?

18.12.2017, 17:19

9halbe

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und für L gilt ja $\begin{eqnarray*} L\geq 0 \end{eqnarray*}$

Was ist mit a? verwirrt

verwirrt

Ich meinte echtgrößer 0..

18.12.2017, 17:29

IfindU

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Die Voraussetzung vom Satz ist:

Für festes $\begin{eqnarray*} Z_{a,b} \end{eqnarray*}$ gibt eine Konstante $\begin{eqnarray*} L \geq 0 \end{eqnarray*}$ , nur von $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ abhängig, so dass $\begin{eqnarray*} |f(t,y) - f(t, \widetilde y)| \leq L | y - \widetilde y| \end{eqnarray*}$ .

Ich vermute aber, ihr habt eine andere Version des Satzes. Sonst macht der zweite Teil der Aufgabe wenig Sinn.

18.12.2017, 17:38

9halbe

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Wir haben dazu folgendes notiert:

Gegeben sei ein AWP $\begin{eqnarray*} Y'=f(t,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Y(t_0)=Y_0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f:Z_{a,b}->R^n \end{eqnarray*}$ stetig auf Zylinder $\begin{eqnarray*} Z_{a,b}={(t,y) aus RxR^n | |t-t_0| kleinergleich a, ||Y-Y_0|| kleinergleich b}. \end{eqnarray*}$

Ferner sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig, d.h. es existiert eine Konstante $\begin{eqnarray*} L groeßer 0 \end{eqnarray*}$ ,
s.d. $\begin{eqnarray*} ||f(t,y)-f(t,yschlange)|| kleinergleich L*||y-yschlange|| \end{eqnarray*}$

Dann besitzt das AWP genau eine Lösung auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [t_0- \alpha , t_0 + \alpha] \end{eqnarray*}$ .

18.12.2017, 17:41

IfindU

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RE: Picard-Lindelöf
Ok, dann doch die Variante. Hab nun die Aufgabe verstanden. Übrigens war genau dieser Post genau das, wonach ich seit dem ersten Post gefragt habe. Und etwas LaTeX Nachhilfe: Auf der Tastatur findest du sofort < und > für strikte Ungleichungen und \leq (less or equal) ist kleiner gleich und \geq (greater or equal) ist größer gleich.

So. D.h. für jedes $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sind die Voraussetzungen vom Satz erfüllt. Nun zu b):
Du musst $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ explizit ausrechnen. Dafür wirst du zuerst $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ausrechnen müssen.

18.12.2017, 17:50

9halbe

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Danke

smile

Aber Moment noch, das ging mir gerade ein bisschen zu schnell. Warum ist das jetzt auf einmal für alle a,b erfüllt?
Was ist mit dem $\begin{eqnarray*} b \geq 2/L \end{eqnarray*}$ ?

Ja zu b)

$\begin{eqnarray*} M=sup{||f(t,y)||,(t,y) \in Z_{a,b}} \end{eqnarray*}$

Ich gehe jetzt davon aus, dass für jedes a,b die Voraussetzungen erfüllt sind.

Und jetzt ich schauen, wann M maximal groß wird, ist das so richtig?

18.12.2017, 17:52

IfindU

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Du kannst $\begin{eqnarray*} L = 2b \end{eqnarray*}$ setzen. Das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ hängt nicht von $\begin{eqnarray*} t,y \end{eqnarray*}$ ab, sondern nur vom festen Wert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Damit sind die Voraussetzungen erfüllt.

Du brauchst gar nichts aus a) annehmen. Es ist eine direkte Rechnung, die keine Theorie oder Vorarbeit braucht.

18.12.2017, 17:55

9halbe

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Okay, das habe ich jetzt verstanden.

$\begin{eqnarray*} L=2b \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} b=L/2 \end{eqnarray*}$ weil ich b ja angeben soll. Was ist mit a?

Bei der Rechnung bin ich gerade dran, Moment smile

smile

18.12.2017, 17:58

IfindU

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Lass doch mal das arme $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ in Ruhe. Die Aufgabe war: für welche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ . Die Antwort ist: mit $\begin{eqnarray*} L =2b \end{eqnarray*}$ existiert für alle $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .
Man kann es sogar unabhängig von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wählen. Natürlich könnte man auch $\begin{eqnarray*} L = 2(a + b) \end{eqnarray*}$ wählen, wenn du Symmetrie magst.

18.12.2017, 17:59

9halbe

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also zu b)

$\begin{eqnarray*} M=|-t_0|+|y_0|+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=min ( a, \frac{b}{M} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch a wissen verwirrt

verwirrt

18.12.2017, 18:01

IfindU

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Erst einmal musst du $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ richtig ausrechnen. Das sollte eine Zahl sein, die nur von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ abhängt.

18.12.2017, 18:02

9halbe

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Okay also mit $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} M=b \end{eqnarray*}$

18.12.2017, 18:04

IfindU

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Die Lösung wäre $\begin{eqnarray*} M = a + b^2 \end{eqnarray*}$ . Ich habe keine Ahnung wie du auf das Ergebnis gekommen bist.

18.12.2017, 18:06

9halbe

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Mmh wie kommst du denn auf das +a? Ist es dann nicht $\begin{eqnarray*} M=-a+b^2 \end{eqnarray*}$ ? Oder was verstehe ich jetzt schon wieder nicht Forum Kloppe

Forum Kloppe

18.12.2017, 18:08

IfindU

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Wir wollen $\begin{eqnarray*} | -t + y^2| \end{eqnarray*}$ so groß wie möglich wählen. Also wählen wir $\begin{eqnarray*} t = -a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = b \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} y=-b \end{eqnarray*}$ , ist wegen dem Quadrat egal) und bekommen $\begin{eqnarray*} a + b^2 \end{eqnarray*}$ .

18.12.2017, 18:10

9halbe

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Achso ja stimmt Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} b/M = \frac{L/2}{a+b^2} \end{eqnarray*}$

18.12.2017, 18:15

IfindU

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Das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ kannst du vergessen. Das brauchten wir nur für die a). Wenn es dir sympathischer ist als das $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , ersetze alle $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konsequent dadurch. (Wird aber nicht einfacher dadurch).

So. Nun bleibt es $\begin{eqnarray*} \min \{ a, \frac { b }{ a + b^2} \} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und zu zeigen, dass nie größer als $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt[3]4} \end{eqnarray*}$ ist.
Fall 1) Falls $\begin{eqnarray*} a\leq \frac 1 {\sqrt[3]4} \end{eqnarray*}$ , dann....
Fall 2) Falls $\begin{eqnarray*} a > \frac 1 {\sqrt[3]4} \end{eqnarray*}$ , dann....

Der erste Fall ist trivial, der zweite erfordert weiteres rechnen.

18.12.2017, 18:20

9halbe

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Ah okay, also d.h. wenn $\begin{eqnarray*} a < \sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} frac{b}{a+b^2} > \sqrt[3]{4} \end{eqnarray*}$

Stelle ich das jetzt nach b um?

18.12.2017, 18:28

IfindU

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Nein. Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \min \{ s, t \} \leq s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \min \{ s, t \} \leq t \end{eqnarray*}$ . Ist also $\begin{eqnarray*} a \leq \frac 1 {\sqrt[3]4} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha = \min\{ a, ???\}\leq a \leq \frac 1 {\sqrt [3]4} \end{eqnarray*}$ . Fertig. Unabhängig davon was in $\begin{eqnarray*} ??? \end{eqnarray*}$ steht.

18.12.2017, 18:36

9halbe

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Okay.. ich bin gerade echt am verzweifeln. Moment ich versuche das nochmal.

18.12.2017, 18:47

9halbe

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1. Fall
$\begin{eqnarray*} \alpha = \min\{a, \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \} \leq a \leq \frac{1}{\sqrt[3]4} \end{eqnarray*}$ unabhängig davon was ist b steht.

2. Fall
$\begin{eqnarray*} \alpha = \min\{a, \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \} > a \end{eqnarray*}$ Dann folgt daraus, dass das $\begin{eqnarray*} \min\{a, \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \} = \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \end{eqnarray*}$ . Das lässt sich kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]4 +b} \end{eqnarray*}$

Mmh jetzt ist schon wieder was falsch..

18.12.2017, 18:52

IfindU

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Zitat:

Original von 9halbe
2. Fall
$\begin{eqnarray*} \alpha = \min\{a, \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \} > a \end{eqnarray*}$
.

Das ist so ziemlich genau das Gegenteil davon was das Minimum macht. Egal welche Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ haben, es ist immer(!) $\begin{eqnarray*} \min\{a, \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \} \leq a \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} \min\{a, \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \} \leq \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \end{eqnarray*}$ kann man so benutzen, indem man die Gleichheit durch eine Ungleichung ersetzt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]4 +b} \end{eqnarray*}$
Mmh jetzt ist schon wieder was falsch.

Du untersuchst gerade Differentialgleichungen auf die garantierte Lösungszeiten. Man kann dann doch erwarten, dass du leichte Bruchrechnung beherrscht.

Eine Möglichkeit wäre $\begin{eqnarray*} g(b) := \frac{b}{\sqrt[3]4 +b^2} \end{eqnarray*}$ zu definieren, und dann mit Schulmethoden (Kurvendiskussion) das Maximum zu bestimmen.

18.12.2017, 19:09

9halbe

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das wird maximal bei $\begin{eqnarray*} b= \sqrt[3] 2 \end{eqnarray*}$

18.12.2017, 19:17

IfindU

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Sehr gut. Und welchen Funktionswert hat $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an der Stelle?

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