Approximationsfehler

14.12.2017, 18:58

ma_rie

Approximationsfehler

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Aufgabe bekommen, dass ich zeigen soll, dass der Approximationsfehler |f(x) - $\begin{eqnarray*} T_{i} \end{eqnarray*}$ f(x;0)| für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0, 1/2] beschränkt ist. (Bei der Funktion f : (-1; $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) --> R, f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ )
Ich war leider die letzten zwei Wochen so krank, dass ich nicht richtig aufpassen konnte. Im Internet habe ich nur Dinge zu |R2(x)| gefunden, aber bei mir sieht das irgendwie komplizierter aus und ich würde nur ungerne einfach etwas annehmen.
Vorher habe ich das erste und zweite Taylorpolynom ausgerechnet, was mit Mühe und Not hoffentlich richtig ist. Außerdem soll der Fehler beschränkt sein durch 1/4 für i = 1 und 1/8 für i = 2. Ich stehe leider ein bisschen auf dem Schlauch, welche Formel ich jetzt anwenden kann.
Ich versuche das schon seit ein paar Tagen selbst zu machen, aber es wäre langsam schön, wenn mir da jemand helfen könnte unglücklich

Meine Ideen:
Ich habe mir natürlich die Formel $\begin{eqnarray*} R_{n} (f,x,x_{0}) = \frac{f^{n+1} \cdot (\Im _{x,x_{0}) } }{(n+1)!} \cdot (x-x_{0})_{n+1} \end{eqnarray*}$ angeguckt. Nun dachte ich, da ich zeigen soll, dass der Fehler beschränkt ist, dass ich die Formel "einfach" ausrechne und so den maximalen Fehler erhalte, der mit meinen Vorgaben übereinstimmen sollte. Aber ob man das so genau machen kann und vor allem wie, weiß ich nicht so ganz.

14.12.2017, 19:29

sibelius84

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RE: Approximationsfehler
Hallo ma_rie,

Zitat:

Original von ma_rie
Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Aufgabe bekommen, dass ich zeigen soll, dass der Approximationsfehler |f(x) - $\begin{eqnarray*} T_{i} \end{eqnarray*}$ f(x;0)| für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0, 1/2] beschränkt ist. (Bei der Funktion f : (-1; $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) --> R, f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ )

das kleine i an dem großen T - wie ist das zu verstehen? Sollst du zeigen, dass der Ausdruck für jedes i beschränkt ist? Das würde trivialerweise aus dem wichtigen Satz der Analysis über "stetige Funktionen auf kompakten Mengen" folgen. Oder sollst du zeigen, dass er gleichmäßig beschränkt ist, dass man also eine Konstante unabhängig von i finden kann? Das würde mir mehr Sinn ergeben.

Im Prinzip musst du den Funktionsterm sowie den Term des berechneten Taylorpolynoms einfach in den Betrag einsetzen und dann abschätzen. Den Term f(x) würde ich dabei in eine geometrische Reihe entwickeln und die beiden Summen voneinander abziehen, dann bleibt zwischen den Betragsstrichen im Wesentlichen nur ein Reihenrest übrig und du kannst relativ einfach weiter argumentieren.

LG
sibelius84

15.12.2017, 08:52

ma_rie

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RE: Approximationsfehler
Hallo,

danke für die schnelle Antwort! smile

Mir wurde i=1 und i=2 vorgegeben. Muss ich dann dementsprechend das erste und zweite Taylorpolynom verwenden?

15.12.2017, 10:03

sibelius84

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Es gibt ja, wie gesagt, den wichtigen Satz aus der Analysis

"Stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Maximum und Minimum an."

oder etwas allgemeiner und schlanker formuliert:

K kompakt, f stetig => f(K) kompakt.

Kennst du diesen Satz, habt ihr den gehabt? Dann könntest du deine Behauptung schon locker daraus folgern, dass f-T_1 bzw. f-T_2 auf [0,1/2] stetig sind (das müsstest du dann nur noch eben begründen).

Falls nein, dann würde ich einfach einsetzen und rechnen. Also auf einen Nenner bringen, und dann die gewohnten Überlegungen beim Abschätzen: Wie klein kann der Nenner, und wie groß der Zähler schlimmstenfalls werden?

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