Stetigkeit zeigen

15.12.2017, 16:45	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit zeigen Hallo, folgende Aufgabe verstehe ich schon von den Vorraussetzungen nicht: Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} i: [0,1] \cup \{2\} \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a=2 \end{eqnarray}$ stetig ist. Ich frage mich : Fehlt da nicht die Abbildungsvorschrift ? oder wird bei $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ immer ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ getroffen ? Mein Ansatz wäre jetzt nur dies mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit zu zeigen. Also mein Anfang: Sei $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray} x_n \in [0,1] \cup \{2\} , \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } x_n = a= 2 , zz: \lim_{x \to a } f(x) = f(a) \end{eqnarray}$ Danke für jede Hilfe ! LG Snexx_Math
15.12.2017, 17:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt in $\begin{eqnarray} [0,1]\cup\{2\} \end{eqnarray}$ "nicht viele" Folgen, die gegen 2 konvergieren. "Für jede" derartige Folge ist die Behauptung richtig.
16.12.2017, 17:31	Lulzlulz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit zeigen Ich sehe das so, dass a=2 ein isolierter Punkt ist und in einem solchen ist f immer stetig.
18.12.2017, 15:28	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mir jetzt gedacht: Sei $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ eine Folge reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray} x_n \in [0,1] \cup \{2\} \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } x_n = 2 =a \end{eqnarray}$ . zz: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(x_n) =f(a)=f(2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty } x_n)=f(2) \end{eqnarray}$ . Fertig. LG Snexx
18.12.2017, 19:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man lim und f in jedem Punkt vertauschen könnte, wären alle Funktionen in jedem Punkt stetig. So einfach kann es nicht sein. Lulzlulz hat recht, und ich dachte, ich hätte dir schon den entscheidenden Hinweis gegeben, warum das so ist. Ist $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray} x_n \in [0,1] \cup \{2\} , \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } x_n =2 \end{eqnarray}$ , dann liegen für alle $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ alle $\begin{eqnarray} x_n,n>n_0(\epsilon) \end{eqnarray}$ in einer Umgebung $\begin{eqnarray} U_{\epsilon}(2) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} 0<\epsilon<1 \end{eqnarray}$ heißt das, dass alle $\begin{eqnarray} x_n,n>n_0(1) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ sind. Gegen 2 konvergente Folgen sind genau die schließlich stationären Folgen. Deshalb ist $\begin{eqnarray} lim (f(x_n))=lim (f(2))=f(2) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig im Punkt $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ .

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