Arithmetik Quersummenregel

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Aristoteles96' Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetik Quersummenregel
Meine Frage:
Formulieren und beweisen Sie eine Quersummenregel für natürliche
Zahlen im Siebenersystem.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass (b-1)|(b^n -1)
für alle n,b element N gilt.

Meine Ideen:
Es sei die Quersumme q der Basis 7 = von a=zn...z1zo im 7ersystem.
Annahme : (b-1)|(b^n-1)
b=7 (7ersystem) => 6|6^n

Dann gilt:
x|a <=> x|q7(a)

Aber wie Beweise ich das? unglücklich Wenn mein Ansatz denn stimmt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist trivial. Du darfst annehmen, dass gilt. (Ein Beweis dafür ist übrigens leicht zu führen, indem man das Polynom durch dividiert. Das geht, immer, ohne Rest.)
Im Dezimalsystem ist also , und daraus folgt die Quersummenregel , weil .
Im 7er-System wird das nicht viel anders sein.
Aristoteles96 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Wir benutzen in der Arithmetik Vorlesung kein Modulo und Kongruenz... daher werde ich damit leider nicht Argumentieren dürfen, denk ich mal...

Wie könnte ich den letzten Part denn anders aufschreiben?

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich überfragt. Kongruenzrechnung ist für mich seit Gauß so fundamental, daß ich nicht darauf verzichten kann. Wie begründet man in der Schule die 9er-Probe ?
Aristoteles96 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht mit den Ergebnissen der Quersumme?

125+250=375

Quersumme: 8+7=15

Nach Definition: Der Neuner-Rest einer Zahl ergibt sich, indem man die Quersumme der Zahl bildet. Ist
das Ergebnis mehrstellig, wird davon wieder die Quersumme gebildet. Der Prozess
setzt sich fort, bis das Ergebnis 1-stellig ist.

Doch wie hilft mir das mit der Aufgabe? Big Laugh

Wie kann ich sehen, dass der Beweis vollendet ist für eine Quersummenregel für natürliche Zahlen im 7er-System? Was muss ich zeigen, was muss gezeigt werden?

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Summen und Prozess helfen mir nicht, ich verstehe es nicht. Ich kann nur Kongruenzrechnung, dann ist die b-1 Probe in jedem b-System identisch.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wie begründet man in der Schule die 9er-Probe ?


An typischen Beispielen. Zunächst leuchtet jedem nicht ganz geistig eingeschränkten Schüler ein, daß die Zahlen 9,99,999 und so weiter durch 9 teilbar sind. Will man also untersuchen, ob 5687 durch 9 teilbar ist, so zerlegt man die Zahl zunächst in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer:



Und jetzt ersetzt man



Welchen Fehler hat man gemacht? Statt 1000mal die 5 haben wir sie nur 999mal, also fehlt sie einmal. Statt 100mal die 6 haben wir sie nur 99mal, also fehlt sie einmal. Und statt 10mal die 8 haben wir sie nur 9-mal, also fehlt sie einmal (Fachleute erkennen das Distributivgesetz, das in voller Abstraktion aber in diesem Alter noch nicht bekannt ist). Somit kann man die Korrekturglieder bestimmen:



Daß die Addition und Subtraktion von Zahlen der Neunerreihe (wie auch bei jeder anderen Reihe) wieder zu einer Zahl der Neunerreihe führt, ist bekannt. Also hängt alles von der Quersumme ab. Begabteren Schülern leuchtet diese Argumentation ein, die andern müssen die Regel halt lernen. So ist das leider.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das leuchtet mir ein. Respekt Das hätte mir als Schüler mal jemand erklären sollen, meine Lehrer haben nur die Regel gekannt, und die sollten wir lernen.
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