Polynomringe

16.12.2017, 13:17

mengelara

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Polynomringe

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} f\in K[x], Grad(f) > 0. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt irreduzibel, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} f = gh, g,h \in K[x] \Leftrightarrow Grad(g) = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} Grad(h) = 0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt prim, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} gh, g,h \in K[x] \Leftrightarrow f \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .

1. Bestimme K[x]*

Meine Idee:

K[x]* ={ $\begin{eqnarray*} {r \in K[x] | es \ existiert \ ein \ s \in K \ mit \ rs=sr=1} \end{eqnarray*}$ } wobei $\begin{eqnarray*} r \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \neq 0 \end{eqnarray*}$

16.12.2017, 13:21

tatmas

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Hallo,

die Defintion von prim und irreduzibel ist für deine Aufgabe 1. nicht relevant.

Wenn du bei so einer Aufgabe keine Idee hast, nimm dir ein möglichst konkretes Beispiel und schau dir an was in diesem Fall passiert.
Versuche die Erkenntnisse dann auf den allgemeinen Fall anzuwenden.

16.12.2017, 14:09

mengelara

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Hallo tatmas,

aber ich habe eine Idee und ich habe die Idee im letzten Beitrag geschrieben.

16.12.2017, 14:12

tatmas

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Das ist die Defintion des Begriffs, keine Idee.

16.12.2017, 15:36

mengelara

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Hm. Dann kann man die Summenkonvention benutzten? Da Grad(f) > 0 dann ist

$\begin{eqnarray*} a = \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_ix^i \end{eqnarray*}$

i ist größer als 0, da der Grad(f) > 0 ist.

16.12.2017, 15:47

tatmas

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Du hast einen Polynomring, keine Potenzreihen.
Also kein unedlich als obere Grenze.
Und die untere Grenze ist i=0, das hat nichts mit dem Grad zu tun.

Klären wir doch erstmal die Grundlagen:
Was ist ein Polynom?
Was ist der Grad eines Polynoms?

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16.12.2017, 17:37

mengelara

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Hallo,

danke nochmal für die Hilfe. Hier ist was ich denke:

Um $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ *, muss f invertierbar sein. Für $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ sind die ungeraden Zahlen invertierbar und die geraden Zahlen nicht invertierbar. Somit ist K[x]* alle invertierbare Polynome $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ , wobei n die ungeraden Zahlen sind.

16.12.2017, 17:48

Leopold

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Zitat:

Original von mengelara
Um $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ *, muss f invertierbar sein. Für $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ sind die ungeraden Zahlen invertierbar und die geraden Zahlen nicht invertierbar. Somit ist K[x]* alle invertierbare Polynome $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ , wobei n die ungeraden Zahlen sind.

Auch wenn es von dir völlig falsch formuliert ist, denke ich, daß du damit ausdrücken willst, daß die Potenzfunktionen bei ungeradem Exponenten Umkehrfunktionen besitzen. Darum geht es hier aber gar nicht, einmal ganz abgesehen davon, daß K nicht der Körper der reellen Zahlen zu sein braucht.

Es geht darum, ob bei gegebenem Polynom $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ ein Polynom $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ existiert, so daß $\begin{align*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{align*}$ gilt. Ich würde einfach auf diese Gleichung den Grad loslassen.

16.12.2017, 19:00

mengelara

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So ist es nur dann: $\begin{align*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{align*}$ , $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{g(x)} \end{align*}$ . Das bedeutet z.B., dass $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ das Inverse $\begin{eqnarray*} x^{-n} \end{eqnarray*}$ ist.

16.12.2017, 19:12

Leopold

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Zunächst einmal behandelst du hier nur einen Spezialfall. Denn ein Polynom ist im allgemeinen mehr als eine bloße Potenz. Und dann weiß ich nicht, was du mit dem $\begin{align*} x^{-n} \end{align*}$ eigentlich willst. Das ist ja gar kein Polynom.
Dir ist prinzipiell nicht klar, was ein Polynom ist und was es heißt, sich im Ring der Polynome aufzuhalten. Du brichst aus diesem Ring aus, wenn du so etwas wie $\begin{align*} x^{-n} \end{align*}$ auch nur hinschreibst. So etwas gibt es einfach im Polynomring nicht. Es ist sozusagen verboten, das auch nur in Erwägung zu ziehen.
Nimm doch als einfacheres Beispiel einmal den Ring $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ der ganzen Zahlen. Welche $\begin{align*} a \in \mathbb{Z} \end{align*}$ sind invertierbar, so daß es also ein $\begin{align*} b \in \mathbb{Z} \end{align*}$ mit $\begin{align*} ab=1 \end{align*}$ gibt?

16.12.2017, 19:27

mengelara

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Alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Die Notation dann für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$

16.12.2017, 19:33

mengelara

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Ist das dann: Das additive neutrale Element von $\begin{eqnarray*} K[x]=0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ * = { $\begin{eqnarray*} p\in K[x] | p \neq 0 \end{eqnarray*}$ }

16.12.2017, 20:17

tatmas

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Zitat:

Klären wir doch erstmal die Grundlagen:
Was ist ein Polynom?
Was ist der Grad eines Polynoms?

Das ist glaub ich immer noch eines der Probleme.
Kannst du die Fragen beantworten.

Du hast auch Leopolds Frage nicht beantwortet.
Welche ganzen Zahlen gibt es, die invertierbar sind.
Diese Menge ist ziemlich klein und man kann sie hinschreiben.
Und es ist auch eine gute Übung das zu tun. Versuch doch mal konkret alle ganzen Zahlen hinzuschrieben, die in den ganzen Zahlen invertierbar sind.

16.12.2017, 20:36

mengelara

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Hallo tatmas,

Was ist ein Polynom? Eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} a = (a_0,a_1,a_2,...) \in K[[x]] \end{eqnarray*}$ heißt Polynom, falls ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb Z_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} a_i = 0 \ \forall i>n \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass z.B. wenn n=3, dann alle folgende Folgenglieder, gleich null sind. D.h. $\begin{eqnarray*} (a_0, a_1, a_2,a_3,0,0,0,0...) \end{eqnarray*}$ . Ich glaube, dass das wichtig ist, weil die Potenzreihe muss endlich sein aber ich bin mir nicht sicher wieso sie endlich sein muss.

Was ist der Grad eines Polynoms? Für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ heißt das kleinste derartige n der Grad von a. Das heißt, der Grad ist genau n, wobei die folgenden Folgenglieder gleich null sind. Im oberen Beispiel ist der Grad 3.

Ich habe die Frage von Leopold falsch beantwortet. Die Menge ist {-1,1}.

16.12.2017, 20:47

tatmas

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Ein Polynom als endliche Potenzreihe ist eine etwas seltsame wenn auch richtige Defintion.

Dein Problem ist wahrscheinlich, dass dir die Defintion zu abstrakt ist. (Wenn einem das passiert sollte man sich immer Beispiele suchen)

Ein Polynom ist sowas $\begin{eqnarray*} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ aus dem Grundkörper/ring.
Wie sieht das Produkt zweier Polynome aus, z:b das von x²+x+1 und x+7?

Zu den ganzen Zahlen:
Kannst du die Aussage auch beweisen?

17.12.2017, 12:41

mengelara

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Hallo tatmas,

Zitat:

Dein Problem ist wahrscheinlich, dass dir die Defintion zu abstrakt ist. (Wenn einem das passiert sollte man sich immer Beispiele suchen)

Ja ist das manchmal so. Ich werde versuchen immer Beispiele zu suchen. Danke für den Tipp. Ich bin mir nicht wirklich sicher was sie mit K[[x]] meinten.

Das Produkt von den zwei Polynomen ist: $\begin{eqnarray*} (a \cdot b)(x) = c(x) = x^3 + 8x^2 +8x +7 \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \cdot 0 = 0 = 0 \cdot x \end{eqnarray*}$
Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist das neutrale Element 1 und somit $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \end{eqnarray*}$ außer wenn x = 0.

Das impliziert, dass das multiplikative Inverse $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist. Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für alle x außer wenn $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ . Somit sind die einzigen Inversen von Z: -1 und 1.

17.12.2017, 13:05

tatmas

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K[[X]] ist der Potenzreihenring.

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \cdot 0 = 0 = 0 \cdot x \end{eqnarray*}$ Für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist das neutrale Element 1 und somit $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \end{eqnarray*}$ außer wenn x = 0.

1) Das ist seltsam formuliert. Neutrales Element ist eine Eigenschaft der/s Gruppe/Rings/Körpers nicht der Elemente.
1 ist das neutrale Element, weil für alle x die Gleichung(en) erfüllt ist. (Du drehst auch die Kausalität um)
Das additiv neutrale Element spielt bei dem Beweis keine Rolle.

Zitat:

Das impliziert, dass das multiplikative Inverse $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist.

Nun tut es nicht. 1/x ist eine schlichte Schreibweise für das Inverse Element.

Zitat:

Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \notin \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für alle x außer wenn $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ . Somit sind die einzigen Inversen von Z: -1 und 1.

Das ist kein Beweis. Das ist eine ausformulierung der Behauptung.

Warum ist denn 1/x nicht ganzahhlig ? Und warum sind es die zwei Fälle?

17.12.2017, 13:49

mengelara

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Zitat:

Warum ist denn 1/x nicht ganzahhlig ? Und warum sind es die zwei Fälle?

Ich bin mir sicher, was du genau willst? 1/x ist per Definition nicht in Z. Z ist eine Teilmenge von Q und 1/x ist in Q, wenn x in Z und x = 0 ist. Aber wie gesagt, ich habe keine Ahnung, was du genau willst oder was dein Ziel am Ende ist.

17.12.2017, 14:08

Elvis

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Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Unbestimmte, also irgendwas Transzendentes, nur nicht in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray*} K[X]=\{\sum_{k=0}^na_kX^k:a_k\in K\} \end{eqnarray*}$ der Polynomring einer Variablen über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Man kann auch ein Element $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ in ein Polynom $\begin{eqnarray*} f(X)=\sum_{k=0}^na_kX^k\in K[X] \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhält dadurch ein Element $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^na_kx^k\in K \end{eqnarray*}$ . Das ist aber etwas ganz anderes und hat mit der Aufgabe nichts zu tun. Du möchtest nicht inverse Elemente in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ suchen sondern in $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ .

17.12.2017, 14:46

tatmas

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Zitat:

1/x ist per Definition nicht in Z.

Welche Definition sagt sowas? Ich kenn keine Insbesondere da für x=1 und -1 1/x doch in den ganzen Zahlen liegt.

Zitat:

Z ist eine Teilmenge von Q und 1/x ist in Q, wenn x in Z und x = 0 ist.

Wenn x=0 ist 1/x nichtmal definiert.

Zitat:

t oder was dein Ziel am Ende ist.

Das Ziel ist, dass du einen sauberen Beweis führst.
Idealerweise indem du am einfacheren Beispiel der ganzen Zahlen eine Methode verwendest, die sich auch auf den Fall Polynomringe über Körpern anwenden lässt.
(z.B. Division mit Rest, Gradfunktionen o.ä.)

@Elvis: Ich weiß nicht was du mit deinem Post bezwecken willst. Oder was der mit diesem Thread zu tun hat. Im ganzen Thread schon ist, wie bei etlichen Leuten üblich, x die Variable nicht X.

17.12.2017, 15:44

mengelara

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Hallo tatmas,

es wäre schön, wenn du mich mal aufklären könntest, was sind gute/saubere Wege das zu zeigen. Lineare Algebra ist momentan wirklich schwer für mich und ich muss auch sagen, dass ich verstehe nicht wie ich die meisten Sachen benutzen kann, um weitere Sachen zu beweisen. Deswegen frage ich Leute hier, weil ihr gute Antworte haben und am Ende verstehe ich mehr als wenn ich versuche allein Sachen zu machen.

So jetzt ein weiterer Versuch:

Division mit Rest: 1/x ist in Z wenn mit Division mit Rest: a = qb + r wobei r = 0, für a,b,q in Z.

17.12.2017, 16:25

Leopold

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Wir machen jetzt einmal Folgendes. Wir verbieten dir fürs nächste den Gebrauch eines Divisionszeichens, ob als Doppelpunkt, als Schrägstrich, als Bruchstrich oder sonstwie. Ebenso sind negative Exponenten verboten, hinter denen ja auch eine Division steckt. Das Problem ist, daß dir nicht klar ist, daß wir uns in einem RING aufhalten, und da gibt es keine Division. Und sobald du wieder in Versuchung bist, ein Divisionszeichen verwenden zu wollen, sag zu dir selber: NEIN! DAS DARF ICH NICHT!
In einem Körper ist das kein Problem, da kann man dividieren - außer die Geschichte mit der 0, aber sonst geht das. In einem RING geht das aber nicht. Vielmehr soll in dieser Aufgabe ja gerade untersucht werden, welche Elemente multiplikative Inverse besitzen. Und wenn du ein Divisionszeichen benutzt, nimmst du etwas vorweg, was du ja gerade untersuchen sollst.
Das Beispiel mit $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ sollte dir klarmachen, daß dort nur die Elemente 1 und -1 multiplikative Inverse besitzen (nämlich jeweils sich selbst). Das hast du ja richtig herausgefunden. Auf einen formalen Beweis (@ tatmas) würde ich jetzt verzichten, denn uns geht es ja um den Polynomring.
Eigentlich ist die Sache recht einfach. Beim Multiplizieren von Polynomen kann die Unbestimmte nicht verschwinden. Sie bleibt. Beispiele mit rationalen Koeffizienten:

$\begin{align*} \left( 2x + 1 \right) \cdot \left( 3x^2 - x + 15 \right) = 6x^3 + \ldots \text{niedrigere Potenzen} \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \left( 14 x^5 - 12x^3 + 3x^2 - 2 \right) \cdot \left( 5x^3 - x^2 + 8 \right) = 70x^8 + \ldots \text{niedrigere Potenzen} \ldots \end{align*}$

Und jetzt geht es um zwei Polynome $\begin{align*} f(x),g(x) \end{align*}$ , deren Produkt 1 ist:

$\begin{align*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{align*}$

Wie du sofort sehen kannst, ist da aber auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen kein $\begin{align*} x \end{align*}$ . Wie kann das sein, wo doch, wie die Beispiele von eben zeigten, das $\begin{align*} x \end{align*}$ nicht verschwinden kann? Nun, es kann eben im allgemeinen nicht sein - bis auf einen Ausnahmefall. Und diesen Ausnahmefall mußt du beschreiben. Dann hast du auch die Polynome, die multiplikative Inverse besitzen. Es ist wirklich nicht schwer, man muß sich nur etwas zusammennehmen und mit den korrekten Begriffen arbeiten.

17.12.2017, 17:44

mengelara

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Hallo Leopold,

danke für die Antwort. Ich habe verschiedene Sachen betrachtet aber leider kommt nichts gutes raus aber hier ist eine Idee:

Der Grad der Polynome, die wir betrachten, sind größer als 0. Das neutrale Element der Multiplikation in K[[x]] und K[x] ist 1 := (1,0,0,0....). So, der einzige Weg, dass f*g = 1, ist wenn beide Potenzreihen a,b die selbe sind, und a=b=(1,0,0,0...)

Dann ist das am Ende: $\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) = 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ .

So formel:

K[x]* = { $\begin{eqnarray*} f,g, 1 \in K[x] | f(x) = 1\cdot x, g(x) = 1 \cdot x, f \cdot g = 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ }

17.12.2017, 17:58

Leopold

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Du verwendest hier die Darstellung eines Polynoms als Koeffizientenfolge, wie man das gelegentlich bei der Einführung dieses Begriffs macht. Vergiß das. Das verwirrt dich hier nur. Schreibe Polynome, wie man das in der Praxis immer macht, nämlich mit Hilfe einer Unbestimmten $\begin{align*} x \end{align*}$ . Die Beispiele in meinem vorigen Beitrag zeigen das. Und dann lies diesen Beitrag noch einmal und vielleicht auch ein drittes Mal durch und löse die Aufgabe. Denk nicht so kompliziert. Es ist viel einfacher, als du denkst. Und beachte, daß zwar $\begin{align*} K[x] \end{align*}$ nur ein Ring ist, $\begin{align*} K \end{align*}$ selber jedoch ein Körper.

17.12.2017, 18:21

mengelara

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Ich bin mir sicher, dass ich das jetzt habe. Ich habe deinen Beitrag schon 5-10 Male gelesen Big Laugh

Big Laugh

.

Zitat:

$\begin{align*} \left( 2x + 1 \right) \cdot \left( 3x^2 - x + 15 \right) = 6x^3 + \ldots \text{niedrigere Potenzen} \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \left( 14 x^5 - 12x^3 + 3x^2 - 2 \right) \cdot \left( 5x^3 - x^2 + 8 \right) = 70x^8 + \ldots \text{niedrigere Potenzen} \ldots \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) =1 \end{eqnarray*}$ nur wenn für alle $\begin{eqnarray*} i > 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0 = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0 = -1 \end{eqnarray*}$

17.12.2017, 18:45

Leopold

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Zitat:

Original von mengelara
$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) =1 \end{eqnarray*}$ nur wenn für alle $\begin{eqnarray*} i > 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \color{red} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0 = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0 = -1 \end{eqnarray*}$

Was soll $\begin{align*} x \end{align*}$ in dieser Aussage? Das ergibt keinen Sinn.
Der Rest ist zwar falsch, aber ich verstehe ihn zumindest. Er ist also nicht gänzlich ohne Sinn. Du berücksichtigst nicht, daß $\begin{align*} K \end{align*}$ ein Körper ist. Wenn zum Beispiel $\begin{align*} K = \mathbb{Q} \end{align*}$ ist, dann wäre auch $\begin{align*} a_0 = \frac{2}{3} \end{align*}$ und $\begin{align*} b_0 = \frac{3}{2} \end{align*}$ denkbar.

17.12.2017, 18:50

mengelara

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$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) =1 \end{eqnarray*}$ nur wenn für alle $\begin{eqnarray*} i > 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0 = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0 = -1 \end{eqnarray*}$

Hoopla. Es sollt a_i und nicht x.

17.12.2017, 18:57

Leopold

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Zitat:

Original von mengelara
$\begin{eqnarray*} f(x) \cdot g(x) =1 \end{eqnarray*}$ nur wenn für alle $\begin{eqnarray*} i > 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \color{red} a_0 = b_0 = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \color{red} a_0 = b_0 = -1 \end{eqnarray*}$

Und das ist immer noch falsch (siehe meinen vorigen Beitrag).

17.12.2017, 18:59

mengelara

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Zitat:

daß $\begin{align*} K \end{align*}$ ein Körper ist. Wenn zum Beispiel $\begin{align*} K = \mathbb{Q} \end{align*}$ ist.

Ahh ja...Dann ist es $\begin{eqnarray*} a_0 \cdot b_0= 1 \end{eqnarray*}$ und in einem Körper haben wir Division. Also haben wir: $\begin{eqnarray*} b_0 = a^{-1}_0 \end{eqnarray*}$ .

K[x]* = { $\begin{eqnarray*} f,g \in K[x] | f(x) = \sum\limits_{i=0}^{n} a_ix^i, g(x) = \sum\limits_{i=0}^{m} b_ix^i, m,n \in K, fuer \ alle \ i > 0 \ a_i = 0 \ und \ b_0 = a^{-1}_0 \end{eqnarray*}$ }

17.12.2017, 19:17

Leopold

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Wir sind nah am Ziel. Du sollst die invertierbaren Elemente f beschreiben. Stattdessen schreibst du irgendetwas von f,g? Eines von beiden ist hier zu viel. Und dann drückst du dich furchtbar kompliziert aus. Verwende den Begriff "Grad", den du sicher im Zusammenhang mit Polynomen kennengelernt hast. Dann läßt sich die Menge elegant beschreiben. Den Tip habe ich dir schon gestern gegeben:

Zitat:

Original von Leopold
Es geht darum, ob bei gegebenem Polynom $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ ein Polynom $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ existiert, so daß $\begin{align*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{align*}$ gilt. Ich würde einfach auf diese Gleichung den Grad loslassen.

17.12.2017, 19:31

mengelara

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K[x]* = { $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \ | \ a_0 \neq 0, a_{i>0}=0 \end{eqnarray*}$ } Da K ein Körper ist, existiert schon ein Element b in K wobei b das inverse Element von a_0 ist.

17.12.2017, 19:35

Leopold

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Und so sieht ein "eleganter" Beweis aus:

Zu bestimmen sind alle invertierbaren $\begin{align*} f(x) \in K[x] \end{align*}$ . Für solche gibt es ein $\begin{align*} g(x) \in K[x] \end{align*}$ mit

$\begin{align*} f(x) \cdot g(x) = 1 \end{align*}$

Offensichtlich können $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ nicht das Nullpolynom sein. Auf diese Gleichung wenden wir den Grad an:

$\begin{align*} \operatorname{grad} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \operatorname{grad}(1) \end{align*}$

$\begin{align*} \operatorname{grad} \left( f(x) \right) + \operatorname{grad} \left( g(x) \right) = 0 \end{align*}$

Da der Grad eine nichtnegative ganze Zahl ist, kann die letzte Gleichung nur bestehen, wenn beide Summanden 0 sind, also $\begin{align*} \operatorname{grad} \left( f(x) \right) = 0 \end{align*}$ ist. Daher muß $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ ein vom Nullpolynom verschiedenes konstantes Polynom sein.

Daß umgekehrt die konstanten Polynome ungleich dem Nullpolynom invertierbar sind, ist offensichtlich.

Damit ist gezeigt: $\begin{align*} K[x]^* = \left\{ \, f(x) \in K[x] \, \left| \ \operatorname{grad} \left( f(x) \right) = 0 \, \right. \right\} \end{align*}$

17.12.2017, 20:47

mengelara

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Nicht nur eleganter sonder auch du hast verschiedene Sachen benutzt, die mir auch mit dem Verständnis des Themas geholfen haben. Ich danke dir für die Erklärungen und die Hilfe. Ich habe ein Paar andere Aufgaben, die unter dieser Aufgabe sind und ich möchte wissen, ob du oder ihr mir helfen könntest/könntet? Wenn ja, hier ist die Aufgabe:

Zeige, dass ein Polynom $\begin{eqnarray*} p \in K[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, genau dann wenn es prim ist.

Meine Idee:

1. Angenommen: p ist prim.

p kann nur durch sich selber und durch 1 geteilt werden, daher ist eine Zerlegung von p als Produkt zweier Polynome $\begin{eqnarray*} g,h \in K_{grad>0}[x] \end{eqnarray*}$ nicht möglich. Daraus folgt, dass p irreduzibel ist.

2. Angenommen: p ist nicht prim $\begin{eqnarray*} \Rightarrow p \in K[x] \end{eqnarray*}$ ist reduzibel .

Sei $\begin{eqnarray*} p \in K[x] \end{eqnarray*}$ eine Primzahl. D.h. p hat mindestens einen Teiler $\begin{eqnarray*} d \in K[x] \ mit \ d\neq p \ und \ d \neq 1 \end{eqnarray*}$ aber folgt $\begin{eqnarray*} d | p \end{eqnarray*}$ . Es existiert ein $\begin{eqnarray*} s \in K[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \neq p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \neq 1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} s \cdot d = p \end{eqnarray*}$ , also ist p reduzibel, da p als Produkt von Polynomen $\begin{eqnarray*} Grad(s) \cdot Grad(d) > 0 \end{eqnarray*}$ durchgeteilt werden kann.

17.12.2017, 21:07

Leopold

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Da würde ich dich gerne weiterleiten.

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