Geometrisches Mittel einer Funktion

17.12.2017, 14:51	Ludwig19	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrisches Mittel einer Funktion Meine Frage: Hallo! der Mittelwertsatz der Integralrechnung ist ja allgemein bekannt: $\begin{eqnarray} M=1/\color{red}(\color{black}b-a\color{red})\color{black}\int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ Edit (mY+): Klammer ergänzt und LaTeX-Tags gesetzt. Markiere den Ausdruck und klicke auf f(x). Dies ist ein arithmetischer Mittelwert. Außerdem gibt es diesen auch in der Form eines quadratischen Mittelwertes. Meine Frage lautet nun: Gibt es auch einen geometrischen Mittelwert einer Funktion? Ich habe leider nur Information bezüglich der oben genannten Mittelwerte gefunden. Meine Ideen: Ich benötige diesen Mittelwert wegen seiner Eigenschaften. Ich bin kein Mathematiker, sondern Musiktheoretiker und schreibe momentan an einem Aufsatz, in welchen ich diesen benötigen würde. Ich hatte auch schon eine Idee, allerdings entstanden dabei nicht verwendbare Ergebnisse. Ich hoffe mir kann jemand eine Aufklärung meiner Frage geben. Mit freundlichen Grüßen Ludwig
17.12.2017, 15:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrisches Mittel einer Funktion? Ich wüsste von keinem bekannten Begriff. Aber der Logarithmus vom geometrischen Mittel ist das arithemetische Mittel. D.h. $\begin{eqnarray} \log ( \prod_{k=1}^n a_k^{1/n} ) = \frac 1 n\sum_{k=1}^n \log (a_k) \end{eqnarray}$ . In dem Sinne könnte man definieren $\begin{eqnarray} \mathrm{geo}(f) = \exp ( \mathrm{arith}(\log f)) = \exp \left ( \frac 1 {b-a} \int_a^b \log (f) d x \right) \end{eqnarray}$ . Nun muss dafür aber $\begin{eqnarray} f \geq 0 \end{eqnarray}$ , damit der Ausdruck existiert. Was generell beim geometrischen Mittel eine gute Idee ist. Ob man es verwendet, ob es wirklich sinnvoll ist, kann ich dir nicht sagen. Aber man kann es so definieren und es stimmt mit der üblichen Definition überein.
17.12.2017, 15:58	Ludwig19	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! LG Ludwig19

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