R linear

18.12.2017, 14:13

Opher19782808

R linear

Meine Frage:
Welche der folgenden Abbildungen sind R-linear? Begründen Sie Ihre Antwort.

Seien a, b
$\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \, gewaehlt,\\ f_1:\mathbb R -> \mathbb R, x -> ax + b. \\<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2: Abb (\mathbb R ,\mathbb R ) -> \mathbb R , f -> f(127). \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3: \mathbb R ^2->\mathbb R ^2, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} f(2) \\ f(1) - f(2) \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_4:- Abb(\mathbb R ,\mathbb R )>\mathbb R ^2 , f -> \begin{pmatrix} x_1 - |x_2| \\ |x_2| \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_5: \mathbb R ^2-> \mathbb R ^2, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -> 0. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dass f1 nicht R-linear ist zeigt man im Allgemeinen anhand von f(x+y) ungleich f(x)+f(y), oder?
Zu f2) Wenn alles auf einen Wert abbildet (f(127)) kann es im Allgemeinen auch nicht R-linear sein, weil falls f(127) ungleich, 0 ist obige Bedingung auch nicht erfüllt?
Oder bedeutet das f(127) etwas ganz anderes. (Ich befasse mich nach meinem Studium, das lange her ist, für eine Freundin mit den Arbeitsblättern und erinnere mich nicht mehr an alles. Deswegen teils die Fragen nach Benennungen/Formulierungen.)
Genauso f(1)/f(2) - Funktionen, die für x =1/2 , f(1)/f(2) ergeben, sprich beliebige x werden auf den dann festen Matrizenwert aus den Funktionswerten zu 1 und 2 abgebildet, ja?

19.12.2017, 08:47

klarsoweit

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RE: R linear

Zitat:

Original von Opher19782808
Genauso f(1)/f(2) - Funktionen, die für x =1/2 , f(1)/f(2) ergeben, sprich beliebige x werden auf den dann festen Matrizenwert aus den Funktionswerten zu 1 und 2 abgebildet, ja?

Der Text liest sich ziemlich übel, da das Zeichen "/" hier gemeinhin als Zeichen für die Division verwendet wird. smile

Ansonsten habe ich keine Einwände gegen deine Ausführungen.

19.12.2017, 09:21

IfindU

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RE: R linear
Ich hab Einwände. f2 ist linear und f3 und f4 sind vermutlich vertauscht worden.

19.12.2017, 13:44

Opher19782808

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RE: R linear
Wie kann f2 linear sein? Es bildet doch alles auf einen Wert ab, sprich f)x+y) und f(x) und f(y)?
Angenommen die anderen sind vertauscht, was bedeitet f(2) - das herkömmliche f(x) und x=2?

19.12.2017, 14:11

IfindU

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RE: R linear
Seien $\begin{eqnarray*} f,g \in Abb(\mathbb R, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f_2( f + g) = (f+g)(127) = f(127) + g(127) = f_2(f) + f_2(g) \end{eqnarray*}$ . Das heisst es ist Additiv. Ähnlich zeigt man Homogenität.

Wenn man die Abbildungsvorschrift für $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_4 \end{eqnarray*}$ tauscht, steht wenigstens etwas wohldefiniertes da. Und eine davon ist dann sogar linear. Aber so wird der Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gerade auf $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ (unter anderem) geschickt, und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} x_1 - |x_2| \end{eqnarray*}$ (unter anderem) geschickt. Das macht doch vorne und hinten keinen Sinn.

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