Zerfällungskörper von (x^2 - 5)(x^3 - 2)

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python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper von (x^2 - 5)(x^3 - 2)
Hey Leute!

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Gesucht ist der Zerfällungskörper von über . Ich habe schon herausgefunden, dass dieser sein sollte, wobei eine komplexe Einheitswurzel ist. Ich suche nun den Grad der Körpererweiterung. Ich weiß, dass und . Ich will nun zeigen, dass , scheitere aber dabei...

Stimmt das soweit? Und hat jemand einen Tipp für den letzten Schritt, falls der Rest stimmt?

Liebe Grüße
Python
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo python_15,

sieht soweit ok aus! Leider sehe ich weder einen rechnerischen noch einen theoretischen, auf irgendwelchen Sätzen gründenden machbaren Weg, die Behauptung zu beweisen. Daher würde ich versuchen etwas umzudenken. Manchmal kann man geschickt die "Reell-Komplex-Logik" ausnutzen, so auch hier:



kriegt man geschenkt, weil der linke Teil reell ist und rechts 'echt komplexe' Zahlen vorkommen. Man kann, wenn man schon dabei hat, relativ einfach ein Polynom zweiten Grades angeben, das xi als Nullstelle hat. Also erhält man hier Grad 2.

Dann muss man sich nur noch um den vorigen Teil kümmern. Man könnte zeigen, dass Oder kann man da auch noch irgendwie geschickt drumrumkommen...? Augenzwinkern

LG
sibelius84
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper von (x^2 - 5)(x^3 - 2)
Herzlichen Dank für deine Antwort, das ist sehr hilfreich!

Ich weiß auch schon, dass (da und teilerfremd sind, darf ich sie zusammenmultiplizieren). Und somit hätten wir:
.

Einverstanden? smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Tanzen
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, muss ich eigentlich trotzdem noch zeigen, dass ? Was zwar eh nicht so schwer ist...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch gesagt, dass du den Grad schon kennst. Wäre , so müsste der Grad 2, und könnte nicht 6 sein.
 
 
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Herzlichen Dank für deine Mühe! Hammer
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider noch weitere Fragen... vielleicht möchte sich diese zu später Stunde noch jemand ansehen.

Ich bin nun auf der Suche nach allen -Automorphismen meines Zerfällungskörpers. Ich habe gedacht, dass solche Automorphismen die Nullstellen des Polynoms permutieren, somit hätte ich jedoch Automorphismen, was ja nun doch etwas zu viele sind, oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja: Wenn ein Q-Automorphismus ist und a eine Nullstelle des Polynoms P, dann ist eine Nullstelle des selben Polynoms P.
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