Zwischenwertsatz, offenes Intervall

19.12.2017, 17:40

Kathreena

Zwischenwertsatz, offenes Intervall

Zeige die Existenz eines
$\begin{eqnarray*} x_0 \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty) \rightarrow \mathbb R, f(x):= ln(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
Also ich muss einfach die Existenz einer Nullstelle zeigen.

Zwischenwertsatz ist mir schon bekannt, nur ist das Intervall mit offenenklammer geschrieben. Und da steh halt nun planlos davor, da ich nirgends Beispiele finde, wie man den Zwischenwertsatz anwenden soll, wenn das Intervall nicht mit geschlossenen Klammern geschrieben ist.

Wenn ich wüsste wie, würde ich so vorgehen:
1. Funktion muss Stetig innerhalb der Intervalls sein, ja stimmt.

2. $\begin{eqnarray*} f(\lim_{x \to 0 }x) > 0 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} f(\lim_{x \to \infty }x) < 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in (0,\infty):f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 18:38

sibelius84

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Hallo Kathreena,

ich würde die Funktion erstmal umformen zu $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 1 x -\ln(x) \end{eqnarray*}$ . Das dürfte dir helfen zu erkennen, für welche x die Funktion negative Werte annimmt. Mit etwas Herumprobieren findest du aber auch einen Wert, für den etwas Positives herauskommt. Voila! smile

LG
sibelius84

edit: Was du gemacht hast, geht im Prinzip auch - ist nur streng genommen eine Verallgemeinerung des ZWS, die erst noch bewiesen werden müsste Augenzwinkern

19.12.2017, 19:09

Kathreena

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Also ich weiß das, sobald $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ der log(x) positiv ist.

Soll ich dann einfach ein eigenes Intervall nehmen oderw. ?

Also $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist positiv, wenn $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist negativ wenn $\begin{eqnarray*} \ln(x) > \frac 1 x \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \frac 1 x \end{eqnarray*}$ immer kleiner als 1 ist, müsst ich nur schaun, ab wann der ln(x) größer als 1 ist.

z.B. ln(10)

Dann hab ich das Intervall $\begin{eqnarray*} [\frac 1 2 , 10] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\frac 1 2) = 2 - ln(2) > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(10) = 0,1 - ln(10) < 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in (0,\infty):f(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

19.12.2017, 19:50

sibelius84

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Genial - mustergültig! smile

19.12.2017, 21:09

Kathreena

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Vielleicht noch dazu ein Tipp ?

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R :g(x_0) = 1 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R , g(x) = x^4 \cdot sin(ln(| x| +1)) \end{eqnarray*}$

Ich weiß das $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ immer postiv ist, und die funktion ausschaut wie ne Parabel, und das der Sinus nur werte zwischen -1 und +1 annehmen kann.

Weiter komm ich da aber nich.

20.12.2017, 12:19

sibelius84

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Ist das x_0 wirklich gesucht? Oder geht es wieder nur um seine Existenz, z.B. mit dem ZWS? Denn wenn ich mir die Funktionsgleichung so ansehe, dann bezweifle ich, dass sie elementar nach x auflösbar ist.

Offenbar gilt g(0)=0. Nun wähle ein hinreichend großes x mit ln|x|+1=pi/2+2pi·d mit ganzzahligem d (so dass dann der Sinus 1 wird). Wegen der Periodizität des Sinus hast du hier unendlich viele Möglichkeiten. Damit sollte dann g(x)>1 gelten. Wenn du nun noch begründest, warum g stetig ist, dann hast du mit Anwendung des ZWS deine Behauptung bewiesen (falls es eben um die reine Existenzbehauptung geht).

22.12.2017, 13:43

Leopold

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Zitat:

Original von sibelius84
(falls es eben um die reine Existenzbehauptung geht).

Und falls nicht, kann man das Problem numerisch lösen. Die Funktion ist gerade. Es genügt daher, sich um positive Lösungen zu kümmern. Es gibt viele Lösungsansätze, einer wäre der Fixpunktsatz. Mit $\begin{align*} x = t^{- \frac{1}{4}} \end{align*}$ geht $\begin{align*} f(x)=1 \end{align*}$ über in

$\begin{align*} \underbrace{\sin \left( \ln \left( 1 + t^{- \frac{1}{4}} \right) \right)}_{g(t)} = t \end{align*}$

Mit dem Startwert $\begin{align*} t_0 = 1 \end{align*}$ erhält man mittels der Iteration

$\begin{align*} t_{n+1} = g(t_n) \, , \ n \geq 0 \end{align*}$

nach ein paar Durchgängen $\begin{align*} t = 0{,}67662453 \ldots \end{align*}$ als Lösung von $\begin{align*} g(t)=t \end{align*}$ und damit $\begin{align*} x = t^{- \frac{1}{4}} = 1{,}10258750 \ldots \end{align*}$ als Lösung von $\begin{align*} f(x) = 1 \end{align*}$ .

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