Umfang von Trapez in Pyramide berechnen

19.12.2017, 18:40	Mara567	Auf diesen Beitrag antworten »
Umfang von Trapez in Pyramide berechnen Hallo zusammen, ich bin grade an meinen Mathehausaufgaben für morgen dran und komme nicht weiter (Aufgabe ist im Anhang). Ich weiß nur, dass hs=12,85 cm, AD=10 cm, AB=CD und AD parallel zu BC ist. Aber ich komme einfach nicht weiter. Könnt ihr mir helfen? [attach]46070[/attach] Viele Grüße Mara Edit Equester: Bild angehängt und Folgekonversation entfernt .
19.12.2017, 21:03	Mara567	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand helfen? Ich bräuchte echt dringend ein paar Denkanstöße ...
19.12.2017, 22:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne zunächt die Länge der Seitenkante (s) aus der gegebenen Oberfläche (bzw. dem Mantel). Danach betrachte das gleichseitige Dreieck des Mantels. Die Mittensenkrechte der Strecke AS schneidet die Seitenkante, auf der B liegt, im Punkt B. Nenne SB = $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Der Punkt B erzeugt zwei Dreiecke, ein gleichschenkeliges mit der Schenkellänge $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und ein kleinere Dreieck mit den Seiten $\begin{eqnarray} 10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s-b \end{eqnarray}$ und einem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , desen cosinus aus dem großen gleichschenkeligen Dreieck mit $\begin{eqnarray} \frac 5 s \end{eqnarray}$ zu berechnen ist. Mittels des Cosinussatzes im gleichschenkeligen Dreieck mit der Schenkellänge $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , welches den gleichen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ hat, kann eine Gleichung für $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ erstellt werden. Bezeichnung $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ geändert. mY+
19.12.2017, 23:05	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
kennst du den Kosinussatz? wenn nicht, kann man das Problem auch mit sinus/cosinus knackrn
20.12.2017, 01:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich, schon auch. Das geschieht im Dreieck HBS mittels des Winkels $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ [attach]46072[/attach] Rechnet man diesen allerdings über $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aus, ist das Ergebnis nicht mehr "reinrassig" bzw. allgemein nicht mehr ein Ausdruck über die gegebenen Variablen und enthält überdies ggf. Rundungsfehler. Um im Allgemeinen zu bleiben, gilt also $\begin{eqnarray} \gamma = 180° - 2 \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \gamma = \frac s {2b} \ \to \ b = \ldots \end{eqnarray}$ (Die Bezeichnung $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ für die gesuchte Seite habe ich in $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ geändert, es erscheint so stimmiger). $\begin{eqnarray} \cos \gamma = -\cos 2 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1-2 \cos^2 \alpha \end{eqnarray}$ Im großen Dreieck ist $\begin{eqnarray} \cos \alpha = \frac 5 s \end{eqnarray}$ , das wird in den Term bei $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ eingesetzt und das ergibt insgesamt den in der Grafik gezeigten Ausdruck für $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Ob dieser Weg günstiger ist, mag dahingestellt sein, denn mit dem Cosinussatz ist das ein Dreizeiler. --------------- Nun ist auch noch die Parallelseite des Trapezes in dem angrenzenden Seitendreieck zu ermitteln. Der Einfachheit halber habe ich diese in das bestehende Dreieck eingebaut, es ist die Strecke $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Deren Berechnung dürfte nunmehr keine Probleme bereiten. mY+
23.12.2017, 13:30	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
nur der Ordnung halber: es geht natürlich auch ganz ohne Winkelfunktionen nur mit Strahlensatz und Pythagoras
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23.12.2017, 19:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ist's dasselbe, die Winkelfunktionen sind Seitenverhältnisse, mit Pythagoras wird umgerechnet und wenn die Winkel im Dreieck gleich sind, liegt zumindest Ähnlichkeit vor Aber - wie schon so oft in anderen Threads - so dringend es auch war, es interessiert Mara567 eh nicht mehr ... Dennoch: Schöne Weihnachten und ein gutes neues Jahr! mY+

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