Flächenintegral berechnen

19.12.2017, 23:24

michael765

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Flächenintegral berechnen

Hallo,

kann mir jemand ansatzweise helfen.

Berechnen Sie die Flächenintegrale $\begin{eqnarray*} \int_{F}^{} \! f(x,y) \, dxdy \end{eqnarray*}$ für

$\begin{eqnarray*} f(x, y) = \frac{sin x}{x} \end{eqnarray*}$ und die Fläche $\begin{eqnarray*} F = \{(x, y) \in \mathbb R^2 \ mit \ 0 \leq y \leq x, x \leq 1\} \end{eqnarray*}$ .

20.12.2017, 06:05

Leopold

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Zeichne die drei Geraden $\begin{align*} y=0, \, y=x, \, x=1 \end{align*}$ . Dann überlege dir, welche Fläche $\begin{align*} F \end{align*}$ durch die Ungleichungen $\begin{align*} 0 \leq y \leq x, \, x \leq 1 \end{align*}$ beschrieben wird.

20.12.2017, 06:21

Dopap

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oder - jede negierte Halbebene mit Schwarz ausmalen. Am Schluss ist es die weiß gebliebene Fläche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.12.2017, 11:02

michael765

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ich habe einen Hinweis bekommen:

Hinweis: Verwenden Sie die Koordinaten u(x, y) = x + y und v(x, y) = x − y .

Irgendwie muss ich x und y von u und v abhängen und dann löse ich das Integral. Aber wie genau?

20.12.2017, 11:11

michael765

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v(x, y) = x - y

20.12.2017, 11:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von michael765
ich habe einen Hinweis bekommen:

Hinweis: Verwenden Sie die Koordinaten u(x, y) = x + y und v(x, y) = x − y .

Hm, wurde der Hinweis exakt zu dieser Aufgabe gegeben?

Am besten wirfst du mal einen Blick auf die Fläche F, über die das Integral gebildet wird. Überlege dir dann, wie die Integralgrenzen aussehen, und forme das Integral entsprechend um:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_{unten}}^{x_{oben}} \int_{y_{unten}}^{y_{oben}} f(x,y) ~dydx \end{eqnarray*}$

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20.12.2017, 11:37

michael765

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Hoopla. Nein das gehört anderer Aufgabe. Entschuldigung.

20.12.2017, 11:45

michael765

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Ich denke es sollte so sein:

$\begin{eqnarray*} \int_{{0}}^{{1}} \int_{{0}}^{{sin(x)/x}} f(x,y) ~dydx \end{eqnarray*}$ .

20.12.2017, 12:03

klarsoweit

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Nein, das f(x,y) ist gleich $\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ , aber nicht die obere Grenze für das y. Wie gesagt: schau dir die Fläche F mal genau an. Gerne kannst du dir ein Koordinatensystem zur Hilfe nehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.12.2017, 12:06

IfindU

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RE: Flächenintegral berechnen
Nur sicherheitshalber: Ist wirklich von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ die Rede, ohne, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ explizit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt?
Oder sollte es $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac { \sin(y)}x \end{eqnarray*}$ oder ähnliches heissen?

20.12.2017, 16:47

michael765

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Die Aufgabe steht sin(x)/x.

20.12.2017, 17:00

michael765

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Hm ok dann ist es vielleicht einfacher als ich gedacht:

y=0, y=x, x<=1 bilden eine Dreieck. Also sind die Grenzen:

$\begin{eqnarray*} \int_{{0}}^{{1}} \int_{{0}}^{{1}} \frac{sin(x)}{x} ~dydx \end{eqnarray*}$ . Und dann beide Komponente integrieren ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} Si(x) |^{1}_{0} \end{eqnarray*}$ = 1.

20.12.2017, 17:17

Leopold

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Die Grenzen sind falsch. Du integrierst über ein Quadrat.

20.12.2017, 17:20

PWM

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Hallo,

Du hast richtig erkannt, dass es sich um ein Dreieck handelt. Aber Deine Integralgrenzen passen nicht dazu. So wie Du integrierst, wäre es das Quadrat 0<=x<=1, 0<=y<=1.

Wenn Du x von 0 bis 1 "laufen lässt", in welchem Intervall liegt dann für ein solches x jeweils die Variable y?

Gruß pwm

20.12.2017, 17:40

michael765

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Ja stimmt dann sollte die obere Grenze für y "x" sein:

$\begin{eqnarray*} \int_{{0}}^{{1}} \int_{{0}}^{{x}} \frac{sin(x)}{x} ~dydx \end{eqnarray*}$ . Und dann beide Komponente integrieren ergibt sich:

Dann ist das Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} sin(x) |^{1}_{0} \end{eqnarray*}$ = 0.841

20.12.2017, 17:57

Leopold

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Die Grenzen stimmen jetzt, die Integration jedoch nicht. Du mußt zu einer Stammfunktion übergehen.

20.12.2017, 18:12

michael765

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Hoopla.

Das Ergebnis ist:
$\begin{eqnarray*} -cos(x) |^{1}_{0} \end{eqnarray*}$ = 0.46

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