DGL mit Potenzansatz

25.12.2017, 17:07	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mit Potenzansatz Hallo, ich soll die DGL: x''=(6 w^2/a)x^2 + (- 8 w^2/a^2)x^3 mit Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich lösen. Ich habe so etwas noch nie gehört und in der Vorlesung ist derartiges nie namentlich genannt worden. Ich lasse mich natürlich nicht abschrecken und gelange mit der Potenzreihe: x(t)=c0+c1 t+c2 t^2 auf die Potenzreihe: a (Summe von n=0 bis inf. [(-1)^n (w t)^(2n) ]) Sieht aus wie Cos(w t) nur ohne Fakultät. Kann mir jemand sagen, ob diese Potenzreihe eine explizite Form hat? Rate schon zu lange... Danke für die Hilfe. :3 MfG Michel
25.12.2017, 17:30	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Ansatz-Potenzreihe hat natürlich unendlich viele Terme, aber ich kann das leider nicht mehr korregieren. -_-
25.12.2017, 19:15	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Michel, puh, das stelle ich mir ganz schön anstrengend vor - da musstest du bei x^2 und x^3 mehrfach Cauchyprodukte deiner Potenzreihe bilden, richtig? Also, hast wohl einiges hinter dir Mit dieser letzten Reihe, das ist eigentlich ziemlich einfach mit der geometrischen Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n(wt)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty (-w^2t^2)^n = \frac{1}{1+w^2t^2} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \lvert t \rvert < \left\lvert \frac 1 w \right\rvert \end{eqnarray}$ . LG sibelius84
26.12.2017, 16:40	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank! Da wäre ich nie drauf gekommen. Habs auch schon eingesetzt und die Funktion löst die DGL. Jedoch muss ich gestehen, dass ich die Reihe nicht ganz mathematisch korrekt ermittelt habe. Stattdessen hab ich mir das Polynom bis zum 4 Grad angeschaut und per Koefizientenvergleich die ersten Koeffizienten bestimmt, bis ich die Strucktur erkennen konnte. Also mit Cauchyprodukten wurde ich in der Form nicht direkt konfrontiert. ;/ Ich sollte im Rahmen der Aufgabe (aus einer Physikvorlesung) nur eine Lösung finden, aber nichts beweisen. Trotzdem: Zumindest die Bedingung möchte ich verstehen. t und w sind bezüglich der Strucktur der Reihe äquivalent, also könnte ich die Bezeichungen tauschen, ohne dass sich die Form ändert. Also ist die Bedingung \|t\|<\|1/w\| gleich zu der Bedingung \|w\|<\|1/t\|, d.h. der einzige Fall, der durch die Bedingung ausgeschlossen wird ist t=w. Habe ich das richtig verstanden oder übersehe ich hier etwas? MfG Michel
26.12.2017, 19:15	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Das, was du gemacht hast, würde jeder machen. In der Politik ist es ja so, dass zu viel 'correctness' gehaltvolle und markige Aussagen verhindert. Vielleicht ist es in der Mathematik sogar ähnlich? Zur Weiterentwicklung der Mathematik gehört immer auch das Herumprobieren und Experimentieren. Den Beweis hast du dadurch erbracht, dass du deinen Kandidaten in die DGL eingesetzt hast. Zu dem w und t - ja, es sind folgende Aussagen äquivalent: (i). $\begin{eqnarray} \lvert t \rvert < \left\lvert \frac 1 w \right\rvert \end{eqnarray}$ ; (ii). $\begin{eqnarray} \lvert w \rvert < \left\lvert \frac 1 t \right\rvert \end{eqnarray}$ ; (iii). $\begin{eqnarray} 0<\lvert wt \rvert < 1 \end{eqnarray}$ . (Der Nullpunkt soll zu dem hier Betrachteten eigentlich auch dazugehören, wäre aber etwas sperrig geworden mit den Fallunterscheidungen, ihn mit aufzuschreiben.) Dies ist also die von den Hyperbeln xy=1 und xy=-1 berandete zusammenhängende Fläche des \|R^2. Unter folgendem Link erhältst du eine (etwas merkwürdige, aber zweckmäßige) Skizze: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cxy%7C%3C1
28.12.2017, 16:45	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Das ist ein interessanter Vergleich. Danke für die extra Info und die Skizze! MfG Michel
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