Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen

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27.12.2017, 19:03	kelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Meine Frage: Hey Leute, könnte mir hier jemand weiterhelfen? Angabe am Foto im Anhang Meine Ideen: Habe versucht mit e^(x^2) und dem Mittelwertsatz zu arbeiten aber habe keine abschätzung gefunden.
27.12.2017, 19:17	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kelvin, hast du schon mal versucht, die reelle Funktion auf [0,1/sqrt(2)] mit dem Term $\begin{eqnarray} f(x):=\frac{1}{1-2x^2}-e^{x^2} \end{eqnarray}$ zu betrachten? Ich würde sie ableiten und nachher den Mittelwertsatz auf f anwenden mit 0 als linker, und x als rechter Intervallgrenze. Das, was du dann herausbekommst - sieht das evtl. deiner Behauptung schon ein klein wenig ähnlich? LG sibelius84 edit: Auch wenn die Ableitung deiner Behauptung nicht so besonders ähnlich sieht - du musst trotzdem zeigen, dass sie >= 0 ist, um deine Behauptung zu beweisen.
27.12.2017, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann ja auch äquivalent umformen: $\begin{align} \underbrace{1 + \left( 2x^2 - 1 \right) \operatorname{e}^{x^2}}_{g(x)} \geq 0 \end{align}$ Nun ist $\begin{align} g(0) = 0 \end{align}$ und $\begin{align} g \end{align}$ für $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ streng monoton wachsend (das kann man an der Ableitung, die sich in lauter positive Faktoren zerlegen läßt, erkennen).
28.12.2017, 12:59	kelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz Hallo, danke für deine schnelle antwort! ich habe meine ungleichung umgeformt so wies es leopold machte und das abgeleitet und dann mit dem mittelwertsatz gearbeitet. Aber ich komme hierbei nicht wieder auf meine ursprüngliche ungleichung zurück! :/ mein ergebnis lautet dass e^x^2> 1/(1+4x^4) ist aber das hilft mir nicht weiter. Noch irgendwelche weiteren tips?
28.12.2017, 13:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{align} g'(x) = 2x \left( 2x^2 + 1 \right) \operatorname{e}^{x^2} \end{align}$ woran man $\begin{align} g'(x)>0 \end{align}$ für $\begin{align} x>0 \end{align}$ abliest. Daher ist die Funktion $\begin{align} g \end{align}$ im Intervall $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ streng monoton wachsend. Wegen $\begin{align} g(0) = 0 \end{align}$ folgt $\begin{align} g(x) \geq 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ . Und für $\begin{align} 0 \leq x < \sqrt{\frac{1}{2}} \end{align}$ ist das äquivalent zur zu beweisenden Behauptung.
28.12.2017, 15:04	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zusammenhang "f' >= 0 => f monoton steigend" mag für uns evident sein, sollte aber trotzdem noch mit dem MWS bewiesen werden (ich glaube, es ist Bestandteil der Aufgabe, das hier für diese einzelne Funktion f zu tun).
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28.12.2017, 15:26	kelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!! so ist mir der beweis klar, jedoch nicht wie ich das mit dem 1. MWS nochmal zeige.
28.12.2017, 15:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen einer Ableitung und der Monotonie der Funktion verwenden darfst, wieso willst du dann unbedingt auf den Mittelwertsatz hinaus?
28.12.2017, 15:32	kelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß eben nicht ob ich diesen zusammenhang verwenden darf. In der angabe steht nämlich explizit, dass man den MWS anwenden soll. Allerdings hatte ich bereits Übungszettel wo das gleiche szenario war und dann ein alternativer beweis so wie hier auch gültig war. Also vielen Dank für die Hilfe.
28.12.2017, 18:00	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung mit Mittelwertsatz beweisen Laut Voraussetzung $\begin{eqnarray} (0\leq 2x^2<1 \end{eqnarray}$ )[/l] gilt hier: $\begin{eqnarray} \frac 1{1-2x^2}=\sum_{n=0}^\infty 2^n x^{2n}. \end{eqnarray}$ Mit der Exponentialreihe ist die zz Ungleichung dann trivial.
28.12.2017, 20:15	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage "f'>=0 => f monoton steigend" würde ich so beweisen (für $\begin{eqnarray} f\colon[a,b]\longrightarrow\mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar): Sei $\begin{eqnarray} a\leq x < y \leq b \end{eqnarray}$ . Dann ist f auf [x,y] differenzierbar, also gibt es nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray} \xi\in[x,y] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(\xi)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \end{eqnarray}$ . Dies impliziert $\begin{eqnarray} f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x) \geq 0\quad\Longrightarrow\quad f(y)\geq f(x) \end{eqnarray}$ . Genauso kann man auch beweisen: f'>0 => f streng monoton steigend.

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