Reihen Beweis

28.12.2017, 13:05

Snexx_Math

Reihen Beweis

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe bereitet mir ab einem gewissen Punkt Schwierigkeiten.

Beweisen oder Widerlegen Sie :
Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_n \end{eqnarray*}$ eine absolut konvergente Reihe und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge reeler Zahlen. Dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (a_n\cdot b_n ) \end{eqnarray*}$ absolut.

Mein Ansatz: Ich glaube, dass man dies beweisen kann:

Aus den Vorraussetzungen folgt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } b_n = c , c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Das heißt , es gibt ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , ab dem beide Folgen konvergieren. Ab einem solchem N gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n \cdot b_n = 0 \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$

Nun muss ich aber Zeigen, dass die Reihe von $\begin{eqnarray*} a_n \cdot b_n \end{eqnarray*}$ konv. bzw. absolut konv. , aber weiß überhaupt nicht wie man das jetzt zeigt. Kenne nur die Konvergenzkriterien , wüsste aber nicht wie ich eine solche benutze.

Vielen Dank für jede Antwort !

LG Snexx_Math

28.12.2017, 13:22

klarsoweit

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RE: Reihen Beweis

Zitat:

Original von Snexx_Math
Das heißt , es gibt ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , ab dem beide Folgen konvergieren.

Das trifft nicht den Sachverhalt. Wenn eine Folge konvergiert, dann konvergiert sie sozusagen ab dem ersten Folgenglied. Es folgt somit direkt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n \cdot b_n = 0 \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$ . (Siehe dazu auch die Konvergenzsätze.)

Zitat:

Original von Snexx_Math
Nun muss ich aber Zeigen, dass die Reihe von $\begin{eqnarray*} a_n \cdot b_n \end{eqnarray*}$ konv. bzw. absolut konv. , aber weiß überhaupt nicht wie man das jetzt zeigt.

Du kannst leicht zeigen, daß die Folge der Partialsummen konvergiert, indem du b_n geeignet nach oben abschätzt. smile

28.12.2017, 13:46

Snexx_Math

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RE: Reihen Beweis
Ok dann würde ich jetzt mit dem Tipp Folgendes schließen:

Da $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert ist $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ beschränkt, daher gilt: $\begin{eqnarray*} \exists R>0 \forall n\in\mathbb N : |b_n| \leq R \end{eqnarray*}$

Also folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n \cdot b_n| = \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n| \cdot |b_n| \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n| \cdot R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n| \cdot R \end{eqnarray*}$ konvergiert nach den Rechenregeln. Daher ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n| \cdot R \end{eqnarray*}$ Majorante zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n \cdot b_n| \end{eqnarray*}$ , also folgt , dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n \cdot b_n| \end{eqnarray*}$ konvergiert. Also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_n \cdot b_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Richtig ?

28.12.2017, 14:00

klarsoweit

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RE: Reihen Beweis
Im Prinzip ja. Rein formal solltest du besser mit den Partialsummen arbeiten, also nicht unendlich, sondern einen endlichen Wert m als obere Summationsgrenze nehmen.

28.12.2017, 14:05

Snexx_Math

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RE: Reihen Beweis
ok danke erstmal.

Allerdings kann ich mir gerade schlecht vorstellen, was Sie mit den Partialsummen bezwecken wollen, man würde ja jetzt das unendlich zeichen einfach durch ein m ersetzen , inwiefern ist dies sinniger bzw. formal besser ?

Aufklärung wäre nett smile

28.12.2017, 14:31

klarsoweit

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RE: Reihen Beweis
Wie gesagt: das ist eher eine formale Angelegenheit, der man aber durchaus auch Beachtung schenken sollte.

Rein formal darf man zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_n \cdot b_n| \end{eqnarray*}$ nur schreiben und damit rechnen, wenn die Konvergenz gesichert ist. Die Verwendung von Partialsummen vermeidet dies und so schlimm ist es auch nicht. Man muß am Ende nur noch den Grenzwert bilden. smile

28.12.2017, 14:34

Snexx_Math

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RE: Reihen Beweis
Also wenn ich annehme, dass die Reihe konvergiert , darf ich es so machen wie ich das getan habe ? Augenzwinkern

wie würde man es denn mit den Partialsummen aufschreiben , habe keine Idee wie man das formal aufschreiben würde.

28.12.2017, 14:48

klarsoweit

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RE: Reihen Beweis

Zitat:

Original von Snexx_Math
Also wenn ich annehme, dass die Reihe konvergiert , darf ich es so machen wie ich das getan habe ? Augenzwinkern

Das Blöde ist nur, daß du das nicht annehmen darfst. Du sollst es ja gerade beweisen.

Zitat:

Original von Snexx_Math
wie würde man es denn mit den Partialsummen aufschreiben , habe keine Idee wie man das formal aufschreiben würde.

Wie ich schon sagte: statt unendlich nimmst du m als obere Summationsgrenze. Dann machst du die ganzen Abschätzungen und zum Schluß läßt du m gegen unendlich laufen.

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