Grenzwerte berechnen

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte berechnen
Abend zusammen,

ich hab noch ein paar Defizite bei Grenzwertberechnungen , die ich gerne aufarbeiten würde:

a)



b)


c)



zu a) :

Hier weiß ich überhaupt nicht wie man herangeht, kenne nur grenzwertberechnung von

Dennoch habe ich so angefangen:



Und nun ? wenn ich -2 einsetze mache ich mit einen Fehler also muss man den Grenzwert iwie anders berechnen ...

zu b)

Ich meine, dass , meine Begründung dafür wäre nun: Da n gegen Unendlich geht gibt es weniger "unendliche Faktoren" im Zähler als im Nenner, daher =0

zu c)

Da k fest bleibt und n gegen Unendlich geht wird der Nenner immer grüßer als der Zähler daher ist der limes =0.


Danke für jede Antwort ! smile

LG

Snexx_Math
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RE: Grenzwerte berechnen
Zitat:
Original von Snexx_Math
Hier weiß ich überhaupt nicht wie man herangeht, kenne nur grenzwertberechnung von

Wirklich? verwirrt Da bin ich echt platt. geschockt Was habt ihr denn in der Schule beim Thema "Grenzwerte" gemacht? Noch nie den Grenzwert des Differentialquotienten für eine Funktion f bestimmt: ?

Zitat:
Original von Snexx_Math
Und nun ? wenn ich -2 einsetze mache ich mit einen Fehler also muss man den Grenzwert iwie anders berechnen ...

Offensichtlich ist -2 Nullstelle von Zähler und Nenner. Du kannst also von den Polynomen in Zähler und Nenner den Faktor (x+2) abspalten.

Zitat:
Original von Snexx_Math
zu b)
Ich meine, dass , meine Begründung dafür wäre nun: Da n gegen Unendlich geht gibt es weniger "unendliche Faktoren" im Zähler als im Nenner, daher =0

Solche Begründungen liebe ich. geschockt Was sollen denn "unendliche Faktoren" sein? Egal, wie groß n auch ist, ich sehe da immer nur endlich viele Faktoren. Du könntest schauen, ob die Reihe konvergiert.

Zitat:
Original von Snexx_Math
zu c)

Da k fest bleibt und n gegen Unendlich geht wird der Nenner immer grüßer als der Zähler daher ist der limes =0.

Was soll das für eine Begründung sein? Welchen mathematischen Sachverhalt willst du da nutzen? Bei ist auch der Nenner immer größer als der Zähler und obendrein wird auch die Differenz "Nenner - Zähler" immer größer. Trotzdem ist der Grenzwert nicht Null, sondern 1/2. Auch hier würde ich die Konvergenz der Reihe untersuchen.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte berechnen
Zitat:
Wirklich? verwirrt Da bin ich echt platt. geschockt Was habt ihr denn in der Schule beim Thema "Grenzwerte" gemacht? Noch nie den Grenzwert des Differentialquotienten für eine Funktion f bestimmt: ?


Doch schon, erinnere mich jetzt auch, dass man dann den Bruch so umgeformt hat, dass man nicht mehr durch 0 teilte, aber frage mich wie man das nochmal gemacht hat und wie es jetzt hier geht. Wie spalte ich denn (x+2) ab ? Ein bisschen Starthilfe wäre nett smile



Zitat:
Du könntest schauen, ob die Reihe konvergiert.


Die Reihe konvergiert gegen e meine ich. Und da die Reihe konvergiert muss die Folge gegen 0 konvergieren. Richtig ?


Zitat:
Auch hier würde ich die Konvergenz der Reihe untersuchen.

Hier wirds für mich schon schwerer, denn dies ist mir eine unbekannte Reihe.

Hmm... finde iwie keinen Ansatz zu zeigen , dass diese Reihe konvergiert. HILFE !! unglücklich Augenzwinkern
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RE: Grenzwerte berechnen
Zitat:
Original von Snexx_Math
Wie spalte ich denn (x+2) ab ? Ein bisschen Starthilfe wäre nett smile

Nun ja, man macht eine Polynomdivision (4x² + 5x - 6) : (x + 2) . Augenzwinkern

Zitat:
Original von Snexx_Math
Die Reihe konvergiert gegen e meine ich. Und da die Reihe konvergiert muss die Folge gegen 0 konvergieren. Richtig ?

Nun ja, nicht direkt gegen e, aber gegen einen endlichen Wert, der irgendwie mit e zu tun hat. Vielleicht solltest du da doch besser nach einem Konvergenzkriterium Ausschau halten. smile

Zitat:
Original von Snexx_Math
Hmm... finde iwie keinen Ansatz zu zeigen , dass diese Reihe konvergiert. HILFE !! unglücklich Augenzwinkern

Nun ja, es gibt ja Konvergenzkriterien für Reihen. Da wirst du sicherlich etwas passendes finden. smile
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte berechnen
Zitat:
Nun ja, man macht eine Polynomdivision (4x² + 5x - 6) : (x + 2) .


Gut, das ich auch Polynomdivision nicht in der Schule hatte, aber probieren wir doch mal Big Laugh

(4x² + 5x - 6) : (x + 2) = -4x+3

------------------------------------
-3x-6
+3x+6
----------
0

Also (-4x+3)(x+2)=4x² + 5x - 6

Und nun ? Jetzt weiß ich : Ich würde jetzt versuchen x+2 zu kürzen , aber brauch ich dann noch eine Polynomdivision für den Zähler ?

Mach ich mal: Die polynomdivision liefert :

Wenn ich nun x+2 kürze und jetzt -2 einsetze komme ich auf , müsste also konvergieren gegen diese


Und zu den beiden Reihen stehe ich echt extrem auf dem Schlauch, bin alle möglichen Konvergenzkriterien durchgegangen aber mir sagt keine zu (Vergleichskriterium , Quotienten - und Wurzelkriterium , Leibniz )
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RE: Grenzwerte berechnen
Zitat:
Original von Snexx_Math
Also (-4x+3)(x+2)=4x² + 5x - 6

Wie man leicht nachrechnet ist das falsch. Richtig ist: (4x-3)(x+2) = 4x² + 5x - 6 smile

Zitat:
Original von Snexx_Math
Mach ich mal: Die polynomdivision liefert :

Auch hier machst du einen Vorzeichenfehler wie vorher auch. Richtig ist:

Zitat:
Original von Snexx_Math
Und zu den beiden Reihen stehe ich echt extrem auf dem Schlauch, bin alle möglichen Konvergenzkriterien durchgegangen aber mir sagt keine zu (Vergleichskriterium , Quotienten - und Wurzelkriterium , Leibniz )

Bei b würde ich das Quotientenkriterium nehmen, bei c auch das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium. smile
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte berechnen
Also ich habe mich jetzt mal mit der Konvergenz der Reihen beschäftigt:
Habe bei beiden das Quotientenkriterium angewandt, aber komme bei beiden auf =0 was ja keine Konvergenz liefert, denn es muss ein wert x mit 0<x<1 herauskommen.

Aber ich leg mal offen was ich gemacht habe:

Die Reihe


Die zweite Reihe sieht ähnlich aus:

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RE: Grenzwerte berechnen
Zitat:
Original von Snexx_Math
Also ich habe mich jetzt mal mit der Konvergenz der Reihen beschäftigt:
Habe bei beiden das Quotientenkriterium angewandt, aber komme bei beiden auf =0 was ja keine Konvergenz liefert, denn es muss ein wert x mit 0<x<1 herauskommen.

Deine Beschäftigung mit dem Kriterium war leider nicht intensiv genug. Die Reihe konvergiert, wenn gegen einen Wert q konvergiert, der echt kleiner als 1 ist.

Zitat:
Original von Snexx_Math
Die Reihe

Nun ja. Am Anfang solle es erst mal lauten. Und in k Faktoren auszudröseln, kann man vielleicht in der Schule machen. In der Hochschule machen wir daraus ein und sehen, daß der Bruch gegen 1 konvergiert. Der Gesamt-Grenzwert Null besagt, daß also das Quotientenkriterium erfüllt ist.

Zitat:
Original von Snexx_Math
Die zweite Reihe sieht ähnlich aus:


Hier ist bei dem Kürzen von b^n etwas schief gegangen. Der Grenzwert ist dann auch nicht Null. smile
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte berechnen
Erstmal danke für die tollen Antworten smile

Zum Quotientenkriterium : Ja klar stimmt , 0 ist auch in Ordnung Augenzwinkern kleine Wdh. Wird nicht schaden smile

Zur ersten Reihe : konvergiert nun also.

Zur zweiten Reihe: konvergiert auch da : der grenzwert analog zur ersten Reihe ist und da b>1 ist dieser wert kleiner 1 , somit konvergiert auch die zweite Reihe Augenzwinkern

Danke für alles und ich wünsche ein schöne Woche Augenzwinkern

LG

Snexx_Math
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