Beweis des Satzes von Menelaos und Ceva |
| 29.12.2017, 12:15 | voggiii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis des Satzes von Menelaos und Ceva Hallo Zusammen, nach einigen Tagen intensiven Grübelns komme ich einfach nicht weiter und frage mal hier nach Hilfe. Meine Aufgabe ist es Anhand des Buches "Ebene Geometrie" von Köcher, Krieg einen Vortrag zum Kapitel II, §5, 2.: "Regula sex quantitatum" zu halten. Leider verstehe ich die dortigen Beweise zu den Sätzen von Menelaos und Ceva nicht. Konkret geht es mir um folgende Zusammenhänge: "Satz von Menelaos. Die Punkte p, q, r liegen genau dann auf einer Geraden, wenn Dreieck = -1 gilt. Satz von Ceva. Die Transversalen schneiden sich genau dann in einem Punkt oder sind alle parallel, wenn Dreieck = 1 gilt. Beweis. In beiden Fällen darf man ohne Einschränkung a = 0, also (*) p = xb , r = oc , q = ub + yc mit u, y, x, o "element" K und u + y = 1 annehmen. 'Dreieck := apb · bqc · cra' erhält dann die Form (**) . Menelaos-Behauptung. Die Punkte p, q, r sind genau dann kollinear, wenn (1 - x)uo + xy(1 - o) = 0 gilt. Beweis. Man verwendet das Drei-Punkte-Kriterium 1.6 und erhält mit (*) [p, q, r] = (ou + xy - ox)[b, c] = ((1 - x)uo + xy(1 - o)) [b, c] . " Ich kann diesen Beweis beim besten Willen unt etlichen Versuchen nicht nachvollziehen, ich hoffe sehr mir kann jemand mit einer Erklärung helfen. Meine Ideen: Durch zahlreiche Internetrecherchen ist mir klar, dass der Satz von Menelaos in der Regel mit den Strahlensätzen bewiesen wird, ich gehe von daher aus, dass die im Beweis verwendeten Formeln etwas mit den Teilverhältnissen der Strecken zu tun haben. Allerdings habe ich keine Idee wo auf einmal die griechischen Buchstaben herkommen und was die Determinantenfunktion (ich gehe davon aus, die eckigen Klammern sind eine Notationsmöglichkeit für die Determinantenfunktion) für eine Bedeutung hat. Ich bin über jede Hilfe dankbar. Liebe Grüße voggiii |
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| 29.12.2017, 14:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man das Buch nicht und auch keine Skizze vorliegen hat, ist deinem Beitrag nur schwer zu folgen. Der Beweis mittels Strahlensatz ist unter https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Menelaos leicht nachzuvollziehen. mY+ |
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| 29.12.2017, 14:26 | voggiii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[attach]46137[/attach][attach]46138[/attach] Eventuell hilft es wenn man sich das Kapitel im Buch kurz ansieht. Den Beweis auf Wikipedia, bzw. den Beweis rein mit den Strahlensätzen kann ich nachvollziehen und verstehe ihn auch. Leider muss ich den im Buch verwendeten Beweis erklären können. Ich vermute, dass er auch mit den Strahlensätzen arbeitet, verstehe aber teilweise die Notation nicht. |
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| 29.12.2017, 17:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vor allem hilft es, wenn du (!) dieses Buch ansiehst, und zwar etwas intensiver. Du darfst nämlich nicht erwarten, einfach die entsprechende Seite mit dem Beweis im Buch aufzuschlagen und alles zu verstehen. Offenbar greift dieser Beweis auf vorige Sätze im Buch zurück und verwendet Notationen, die zuvor eingeführt wurden. Und darum mußt du dich kümmern. Mir scheint, daß zum Beispiel apb das Teilverhältnis bezeichnet, mit dem der Punkt p die Strecke ab teilt. Das ist eine ungewöhnliche Bezeichnung und scheint eine Spezialität dieses Buches zu sein. |
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| 29.12.2017, 18:43 | voggiii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt natürlich, ich will ja auch nicht, dass mir der gesamte Beweis erklärt wird ich brauche vielmehr einen kleinen Denkanstoß. Genau, apb ist das Teilverhältnis, aber wie komme ich dann auf die Form bei (**) nur weil ich a=0 setze? Ich glaube wenn ich diesen simplen Schritt verstehe hilft es mir ungemein weiter, nur leider ist da das Buch keine große Hilfe... Bei meiner Suche im Internet bin ich auch auf diesen Beitrag gestoßen, dort wird der Beweis ähnlich formuliert, aber leider kann ich auch dort nicht nachvollziehen warum das Teilverhältnis in einer (für mich) so komischen Form gerschrieben wird. |
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| 29.12.2017, 18:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Buch kenne ich nicht. Daher kann ich nur vermuten. Und ich vermute, daß man hier nicht mit dem Modell eines affinen Raumes arbeitet, in dem Punkte eine eigene Existenzberechtigung besitzen, sondern daß Punkte mit ihren Ortsvektoren identifiziert werden. Da aber der Satz von Menelaos nur eine Aussage über die relative Lage von drei Punkten zu drei anderen Punkten macht, kann man einen der drei Punkte in den Ursprung legen, welcher in diesem Modell zugleich der Nullvektor ist. Man könnte übrigens noch weitere o.B.d.A.-Annahmen machen. Aber so weit will es der Autor dann doch wohl nicht treiben. |
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