Ist ein Hyperboloid eine Mannigfaltigkeit?

29.12.2017, 20:03	masterdesaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ein Hyperboloid eine Mannigfaltigkeit? Meine Frage: Man hat die Menge $\begin{eqnarray} H_{c}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R ^{3} \| x^{2}+y^{2}-z^{2}=c\right\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und soll sagen, für welche c das eine Mannigfaltigkeit ist. Das Problem ist bei mir gerade allgemein, dass ich nicht weiß, wie ich das ganze angehen soll? Die Definition bringt mich iwie gar nicht weiter: Mannigfaltigkeit der Dimension m $\begin{eqnarray} (m\leq n) \end{eqnarray}$ = nicht leere Menge M mit: $\begin{eqnarray} \forall x\in M \exists \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ , von $\begin{eqnarray} x\in \Omega \end{eqnarray}$ eine offene Menge $\begin{eqnarray} U\subset \mathbb R^{m} \end{eqnarray}$ und eine Immersion $\begin{eqnarray} \phi \in C^{1}(U,\mathbb R^{m}) \end{eqnarray}$ , die U homöomorph auf $\begin{eqnarray} Bild(\phi)=M\cap \Omega \end{eqnarray}$ abbildet. Meine Ideen: Ich muss also eine Immersion finden, der auch ein Homöomorphismus auf $\begin{eqnarray} Bild(\phi) \end{eqnarray}$ Das Problem fängt hier schon an, wie geht man da ran diese Abbildung zu finden? Im Internet habe ich schon gefunden, dass wir $\begin{eqnarray} \phi(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}-c \end{eqnarray}$ nehmen. Okay, nehmen wir das. Jetzt muss man zeigen, dass das eine Immersion ist, also muss der Rang von der Jacobimatrix maximal sein: $\begin{eqnarray} D_{\phi}(x,y,z)=(2x,2y,-2z) \end{eqnarray}$ hat den Zeilenrang 1, und Spaltenrang 3 .Ich dachte Zeilenrang und Spaltenrang sind gleich bei allen Matrizen??? Hier scheitert es wieder. Außerdem wie kann diese Abbildung denn bijektiv sein für den geforderten Homöomorphismus, wenn wir einmal R hoch 3 haben und einmal einfach R, es kann dann doch gar keine Umkherabbildung geben da die Dimensionen schon unterschiedlich sind? und wie man dann weiter verläuft eiß ich dann natürlich auch nicht... Ihr seht also, Fragen über Fragen und ich habe keinen blassen Schimmer wie man hier jetzt rangeht Würde mich über jeden noch so kleinen HInweis freuen!
01.01.2018, 20:27	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo masterdesaster, viele Mengen der Form $\begin{eqnarray} \{x\in\mathbb R^n \,\mid\, f(x)=c\} \end{eqnarray}$ für ein gegebenes $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb R^n\longrightarrow\mathbb R^m \end{eqnarray}$ sind Mannigfaltigkeiten, konkret Untermannigfaltigkeiten des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_regul%C3%A4ren_Wert (Unter dem Abschnitt "Satz" brauchst du nur den ersten Satz.) LG sibelius84

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