Sinusfunktion und Periode 3pi

02.01.2018, 09:56

Kirchi

Sinusfunktion und Periode 3pi

Meine Frage:
Für welche ganzen Zahlen n hat die folgende Funktion die Periode 3pi: f(x)=sin(nx)/sin(5x/n)?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass f(x)=f(x+3pi) gelten muss...
ich habe dies also verwendet und komme dann durch umschreiben und Additionstheoreme auf folgendes:
sin(nx)*sin(5x/n)*cos(15pi/n)+sin(nx)*cos(5x/n)*sin(15pi/n)=sin(nx)*cos(3npi)*sin(5x/n)+cos(nx)*sin(3npi)*sin(5x/n).
An diesem Punkt komme ich aber nicht mehr weiter...aus Geogebra kann ich vermuten, dass es bei n=3 und n=15 gilt. Wie könnte ich das dann beweisen?

02.01.2018, 10:41

HAL 9000

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Ich kann dir nicht ganz folgen: Wenn es um sin(nx)/sin(5x/n) geht, warum diskutierst du dann sin(nx)*sin(5x/n)*cos(15pi/n) u.ä. Terme? verwirrt

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Man könnte so vorgehen: $\begin{align*} \sin(nx) \end{align*}$ hat die kleinste Periode $\begin{align*} \frac{2\pi}{n} \end{align*}$ , d.h., alle Vielfachen davon sind auch Perioden dieser Funktion. Speziell gilt also für gerade $\begin{align*} n \end{align*}$ die Eigenschaft $\begin{align*} \sin(n(x+3\pi)) = \sin(nx) \end{align*}$ , während für ungerade $\begin{align*} n \end{align*}$ dagegen $\begin{align*} \sin(n(x+3\pi)) = -\sin(nx) \end{align*}$ gilt.

Für die $\begin{align*} 3\pi \end{align*}$ -Periodizität der Gesamtfunktion bedeutet dies dann an Bedingungen für den Nenner (jeweils für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ ):

Im Fall $\begin{align*} n \end{align*}$ gerade: $\begin{align*} \sin\left(\frac{5}{n}(x+3\pi)\right) = \sin\left(\frac{5}{n}x\right) \end{align*}$

Im Fall $\begin{align*} n \end{align*}$ ungerade: $\begin{align*} \sin\left(\frac{5}{n}(x+3\pi)\right) = -\sin\left(\frac{5}{n}x\right) \end{align*}$ .

In beiden Fällen kann man sich nun überlegen, welche $\begin{align*} n \end{align*}$ diese Bedingungen erfüllen.

Zitat:

Original von Kirchi
aus Geogebra kann ich vermuten, dass es bei n=3 und n=15 gilt.

Die sind richtig, aber es sind längst nicht alle. Auf dem oben vorgezeichneten Weg ergeben sich zusätzlich noch n=1 und n=5, sowie auch die negativen Pendants -1,-3,-5,-15.

EDIT (11.01.): Anscheinend verschwunden.

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