limsup und liminf berechen

02.01.2018, 17:58

Snexx_Math

limsup und liminf berechen

Hallo zusammen,

ich arbeite gerade den limes superior und den limes inferior nach.

Dazu bearbeite ich folgende Aufgabe, bei der ich gerne ein wenig Rückmeldung bzw. Hilfe bekommen würde.

Es geht um die Folge: $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{2+(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

a)
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n \end{eqnarray*}$

Mein Gedanke:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n = \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{2+(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}= \limsup_{n\rightarrow\infty} \begin{cases} \frac{2+1}{1+\sqrt{n}} , n \ gerade \\ \frac{2-1}{1+\sqrt{n}} , n \ ungerade \end{cases} = 0 \end{eqnarray*}$

Richtig ???

b)
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

analog zu a) und kürzen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ liefert: $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \begin{cases} 1 , n \ gerade \\0 , n \ ungerade \end{cases} = 1 \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Umformung wie bei c) , dann folgt : $\begin{eqnarray*} \liminf_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \begin{cases} 1 , n \ gerade \\0 , n \ ungerade \end{cases} = 0 \end{eqnarray*}$

LG

Snexx_Math

03.01.2018, 08:58

klarsoweit

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RE: limsup und liminf berechen
Aufgabe a ist ok. Bei den beiden anderen Aufgabe solltest du mal ein paar Werte für die Folge $\begin{eqnarray*} b_n := \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. smile

03.01.2018, 14:02

Snexx_Math

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RE: limsup und liminf berechen
Ok ich sehe, wenn ich zahlen einsetze bekomme ich werte die gegen 0,5 und werte die gegen 3 streben ...

aber wo liegt jetzt mein Fehler , ich leg mal meine Rechnung offen :

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2+(-1)^{n+1}}{1+\sqrt{n+1}}}{\frac{2+(-1)^{n}}{1+\sqrt{n}}} = \frac{(2+(-1)^{n+1}) \cdot (1+\sqrt{n} ) }{(1+\sqrt{n+1} ) \cdot (2+(-1)^{n})} = \frac{(2+(-1)^{n+1}) + ((2+(-1)^{n+1}) \cdot \sqrt{n})) }{ (2+(-1)^{n}) + ((2+(-1)^{n}) \cdot \sqrt{n+1}) } = \begin{cases} \frac{1+ \sqrt{n}}{3+ 3 \cdot \sqrt{n+1}} , n \ gerade \\ \frac{3+3\sqrt{n}}{1+ \sqrt{n+1}} , n \ ungerade \end{cases} = \begin{cases} \frac{ \sqrt{n} \cdot (\frac{1}{\sqrt{n}}+ 1)}{\sqrt{n} \cdot (\frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{3}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n+1})} , n \ gerade \\ \frac{\sqrt{n} \cdot (\frac{3}{\sqrt{n}} + 3 )}{\sqrt{n} \cdot (\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}})} , n \ ungerade \end{cases} = \begin{cases} \frac{ \sqrt{n} \cdot (\frac{1}{\sqrt{n}}+ 1)}{\sqrt{n} \cdot (\frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{3}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n+1})} , n \ gerade \\ \frac{\sqrt{n} \cdot (\frac{3}{\sqrt{n}} + 3 )}{\sqrt{n} \cdot (\frac{1}{\sqrt{n}} + \sqrt{1+ \frac{1}{n}})} , n \ ungerade \end{cases} =<br /> \begin{cases} \frac{ (\frac{1}{\sqrt{n}}+ 1)}{ (\frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{3}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n+1})} , n \ gerade \\ \frac{ (\frac{3}{\sqrt{n}} + 3 )}{(\frac{1}{\sqrt{n}} + \sqrt{1+ \frac{1}{n}})} , n \ ungerade \end{cases} \end{eqnarray*}$

LG Snexx

03.01.2018, 14:21

HAL 9000

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Ich halte es für nicht zielführend, sondern eher ziemlich ermüdend und ressourcenfressend, Zähler und Nenner auszumultiplizieren. Stattdessen würde ich so gruppieren:

$\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \underbrace{\frac{1+\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}}}_{\to 1\;\mbox{für}\;n\to\infty} \cdot \frac{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^n} \end{align*}$ .

Und dann ist lediglich noch festzustellen $\begin{align*} \frac{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^n} = \begin{cases} \frac{1}{3} &\;\mbox{falls $n$ gerade}\\ 3 &\;\mbox{falls $n$ ungerade}\end{cases} \end{align*}$ ,

und man hat sowohl b) als auch c) im Sack.

03.01.2018, 14:25

Snexx_Math

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Ok alles klar , danke.

Dann weiß ich fürs nächste Mal besser bescheid Augenzwinkern

Aber es wäre trotzdem richtig, sich die Mühe zu machen mit dem Ausmultiplizieren oder ?

03.01.2018, 14:31

HAL 9000

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Naja, ich habe "nicht zielführend" geschrieben statt "falsch". Du kannst es daher so machen, aber der Termwust sieht schon ziemlich übel aus, ohne jegliche Vorteile.

Zitat:

"Je einfacher eine Konstruktion ist, desto genialer ist sie. Kompliziert bauen kann jeder." (Sergei Koroljow, Vater der russischen Raumfahrt)

War zwar auf technische Konstruktionen gemünzt, passt aber auch auf solche Rechnungen.

03.01.2018, 14:36

Snexx_Math

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Ok also letzte Frage:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = liminf \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 3= limsup \end{eqnarray*}$

Richtig ?

03.01.2018, 14:42

HAL 9000

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Ja.

03.01.2018, 14:44

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich halte es für nicht zielführend, sondern eher ziemlich ermüdend und ressourcenfressend, Zähler und Nenner auszumultiplizieren.

Der Pawlowsche Reflex funktioniert immer.

-> Bestimmen Sie die Definitionsmenge
-> Trapezinhalt maximieren

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