Lineare Endomorphismen

02.01.2018, 18:55

samm1

Lineare Endomorphismen

Meine Frage:
hi , es geht um die Frage

[attach]46159[/attach]

Meine Ideen:
bei a hab ich schon was

bei b hab ich :
Zunächst mal müssen wir f bestimmen

f: R^2 -> R^2; (x,y)^t -> (x,-y)^t

Nun müssen wir schauen, wie wir f(e1)=(1,0)t
als Linearkombination aus den Vektoren von B
darstellen können

f(e1)=(1,0)^t=1* e1+ 0 * e2

Somit gilt:

MBB(f)=(1 0 m21 m22)

aber was as sind nun m21
und m22 ?
und was es ist wegen MAA

und für c habe ich keine Ahnung
ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen

02.01.2018, 19:43

Elvis

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Merke: In den Spalten einer Darstellungsmatrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren.

Damit du siehst, was damit gemeint ist, zeige ich dir, wie das für die Spiegelung an der x-Achse aussieht. Alles andere geht immer genau so.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,-y)\Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1)=f(1,0)=(1,0)=e_1=1*e_1+0*e_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_2)=f(0,1)=(0,-1)=-e_2=0*e_1+(-1)*e_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M_B^B(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,-y)\Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1+e_2)=f(1,1)=(1,-1)=e_1-e_2=0*(e_1+e_2)+1*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1-e_2)=f(1,-1)=(1,1)=e_1+e_2=1*(e_1+e_2)+0*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M_A^A(f)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.01.2018, 22:00

samm1

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vielen dank smile

ich bin jetzt bei c und ich hab mal wieder mit der Basis B angefangen

f(e1)=(1,0)^t=1* e1+ 0 *e2

f(e2)=(1,1) ^ t =1 * e1 + 1*e2

So folgt: MBB(f)=(1101) ist das richtig ?

aber mein problem ist wieder Basis A

03.01.2018, 08:34

Elvis

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Wenn du die Rechnungen genau so ausführlich aufschreiben würdest wie ich es getan habe, könntest du die Aufgabe lösen. In Kurzform die Ergebnisse erraten kann man nicht.

10.01.2018, 19:26

noor124

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Zitat:

Original von Elvis
Merke: In den Spalten einer Darstellungsmatrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren.

Damit du siehst, was damit gemeint ist, zeige ich dir, wie das für die Spiegelung an der x-Achse aussieht. Alles andere geht immer genau so.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,-y)\Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1)=f(1,0)=(1,0)=e_1=1*e_1+0*e_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_2)=f(0,1)=(0,-1)=-e_2=0*e_1+(-1)*e_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M_B^B(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,-y)\Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1+e_2)=f(1,1)=(1,-1)=e_1-e_2=0*(e_1+e_2)+1*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_1-e_2)=f(1,-1)=(1,1)=e_1+e_2=1*(e_1+e_2)+0*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow M_A^A(f)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hi elvis ich hab fast die Gleiche Aufgabe
ich hab alles verstanden was sie da geschrieben haben jedoch nur wir sind sie auf $\begin{eqnarray*} 0*(e_1+e_2)+1*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$ bzw auf 0 und 1 obwohl vorher ( 1,-1 ) steht ?

10.01.2018, 19:46

Elvis

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Mit $\begin{eqnarray*} \{e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet man die Standardbasis, also ist $\begin{eqnarray*} 1*e_1-1*e_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=e_1-e_2=0*(e_1+e_2)+1*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$ .

Die linke Seite zeigt, dass der Vektor in der Standardbasis die Komponenten 1 und -1 hat, in der anderen Basis $\begin{eqnarray*} \{e_1+e_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},e_1-e_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ hat derselbe Vektor die Komponenten 0 und 1.

10.01.2018, 20:59

noor124

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vielen dank ,dass sie schnell geantwortet haben !!

(Mit $\begin{eqnarray*} \{e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ bezeichnet man die Standardbasis, also ist $\begin{eqnarray*} 1*e_1-1*e_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=e_1-e_2) \end{eqnarray*}$ dies ist mir klar geworden danke !!
aber dies $\begin{eqnarray*} ( =0*(e_1+e_2)+1*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$ ) noch nicht bzw diese 0 und 1

also sie haben gesagt ,dass derselbe Vektor die Komponenten 0 und 1 hat
aber warum steht bei f ( e1-e2) ...... $\begin{eqnarray*} ( =1*(e_1+e_2)+0*(e_1-e_2) \end{eqnarray*}$ 1 und 0
also bedeutet ,dass (1 1) die Komponenten 1 und 0 hat
und (1,-1) hat dann 0 und 1

sorry , ich weiss die Frage ist vit dumm aber irgendwie verstehe ich das nicht

10.01.2018, 21:55

Elvis

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0*v ist immer der Nullvektor, 1*v=v ist ein Vektorraumaxiom. Also steht auf der rechten Seite derselbe Vektor e1-e2 wie auf der linken Seite. Wenn man die Basis wechselt, ändern sich nicht die Vektoren, es ändert sich nur die Komponentendarstellung eines jeden Vektors.

10.01.2018, 22:17

noor124

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achso , vielen vielen Dank !!!!

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