Untervektorräume |
03.01.2018, 19:00 | Opher19782808 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Untervektorräume Sei K ein Koerper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien U1 und U2 V Unterraeume. Zeigen Sie die Aequivalenz der folgenden Aussagen: (a) U1 U2 = V . (b) U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V). (c) U1 U2 = 0 und dim(U1) + dim(U2) = dim(V). Meine Ideen: Ringschluss: (a) => (c): Nach Proposition ist U1 U2 = 0 und damit ist Dim (U1 ) = 0, also nach Dimensionsformel dim(U1) + dim(U2) = dim(V). (b) => (a): Nach Definition der direkten Summe, ist U1 U2 = V , da U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V), also Dim (U1 ) = 0. Weil der Schnitt von Unterräumen nicht leer ist, ist aber min. ein Punkt im Schnitt. Dieser muss der Nullpunkt sein, weil 0 Teil des Unterraums sein muss. (c) => (b): Da nach Angabe U1 und U2 V Unterraeume, ist U1+U2=V. EDIT(Helferlein): Geschlossen, da Beitrag einen Tag später neu eingestellt wurde. |
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