Untervektorräume

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Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume
Meine Frage:
Sei K ein Koerper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien
U1 und U2 V Unterraeume. Zeigen Sie die Aequivalenz der folgenden Aussagen:
(a) U1 U2 = V .
(b) U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V).
(c) U1 U2 = 0 und dim(U1) + dim(U2) = dim(V).

Meine Ideen:
Ringschluss:
(a) => (c):
Nach Proposition ist U1 U2 = 0 und damit ist Dim (U1 ) = 0, also nach Dimensionsformel dim(U1) + dim(U2) = dim(V).
(b) => (a):
Nach Definition der direkten Summe, ist U1 U2 = V , da
U1 + U2 = V und dim(U1) + dim(U2) = dim(V), also Dim (U1 ) = 0. Weil der Schnitt von Unterräumen nicht leer ist, ist aber min. ein Punkt im Schnitt. Dieser muss der Nullpunkt sein, weil 0 Teil des Unterraums sein muss.
(c) => (b):
Da nach Angabe U1 und U2 V Unterraeume, ist U1+U2=V.

EDIT(Helferlein): Geschlossen, da Beitrag einen Tag später neu eingestellt wurde.
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