Eigenwerte Operator

03.01.2018, 21:20	redshark1	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte Operator Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein separabler Hilbertraum und $\begin{eqnarray} T \colon X \to X \end{eqnarray}$ ein beschränkter Operator. Zudem sei $\begin{eqnarray} \{ x_n \, \| \, n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Es gelte: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \lVert Tx_n \rVert^2 < \infty \end{eqnarray}$ Man zeige: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \lVert Tx_n \rVert^2 = \sum_{n=1}^{N} \mu_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N \leq \infty \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu_n \end{eqnarray}$ und die positiven Eigenwerte von $\begin{eqnarray} T^T \end{eqnarray}$ sind. ( $\begin{eqnarray} T^* \end{eqnarray}$ ist der adjungierte Operator Meine Ideen:* Im ersten Teil der Aufgabe habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ebenfalls kompakt ist. Nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray} T^T \end{eqnarray}$ nur positive Eigenwerte hat, war auch nicht schwieirig. Bei der Gleichheit der Summen komme ich aber nicht weiter. Sei $\begin{eqnarray} e_k \end{eqnarray}$ das Orthonormalsystem aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} T^T \end{eqnarray}$ . Es gilt mit dem Spektralsatz für selbstad. kompkate Operatoren: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \lVert Tx_n \rVert^2 &= \sum_{n=1}^{\infty} \left \langle Tx_n, Tx_n \right \rangle<br /> &=\sum_{n=1}^{\infty} \left \langle x_n, T^Tx_n \right \rangle<br /> &=\sum_{n=1}^{\infty} \left \langle x_n, \sum_{k=1}^{\infty} \mu_k \left \langle x_n, e_k\right \rangle e_k \right \rangle \end{eqnarray*}$ . An dieser Stelle muss man doch sicher nur noch geschickt das Skalarprpdukt umformen, oder? Aber ich sehe es gerade nicht. Oder steckt an anderer Stelle noch ein Fehler? VG
04.01.2018, 01:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man kann ganz allgemein zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \lVert Tx_n \rVert^2 \end{eqnarray}$ unabhängig von der Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} \{ x_n \, \| \, n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ ist. Nimm dafür eine beliebige andere Orthonormalbasis $\begin{eqnarray} (y_n)_n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Zeige jetzt, dass $\begin{eqnarray} \sum_n \\|Tx_n\\|^2 = \sum_n \\|T^\ast y_n\\|^2 \end{eqnarray}$ ist und folgere daraus, was ich oben geschrieben habe. Nun findest du sicher eine geeignete ONB, die die Behauptung liefert.
04.01.2018, 21:08	redshark	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Das zu zeigen, war zwar noch etwas mühsam, aber der Rest war dann umso klarer. VG redshark

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »