Erwartungswert stetige Zufallsgröße

04.01.2018, 10:41

Mathe:(

Erwartungswert stetige Zufallsgröße

Ahoi zusammen,

folgende Aufgabenstellung:
X sei eine stetige Zufallsgroße mit dem Erwartungswert E(X) = 100 und der Varianz VAR(X) = 9
Man berechne den Erwartungswert von: X^2

Als Ansatz habe ich folgende Formel gefunden:

$\begin{eqnarray*} E(x)=\int_{-\infty }^{\infty } \!g(x) f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Für diskreten Verteilungen hatte ich kein Problem, aber was ist in diesem fall g(x) und was ist f(x)?
Im Integral müsste f(x) = Wahrscheinlichkeitsdichte und g(x) = Wert der Wahrscheinlichkeit sein?

Nun habe ich ja aber weder das eine, noch das andere gegeben? verwirrt

04.01.2018, 10:45

HAL 9000

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Viel, viel einfacher: Es ist $\begin{align*} \operatorname{Var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \end{align*}$ , das kannst du leicht nach dem gesuchten $\begin{align*} E(X^2) \end{align*}$ umstellen.

Zitat:

Original von Mathe: (
$\begin{eqnarray*} E(x)=\int_{-\infty }^{\infty } \!g(x) f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Vermutlich meinst du stattdessen

$\begin{align*} E({\color{red}g}(X)) = \int\limits_{-\infty }^{\infty} g(x) f(x) ~ \dd x \end{align*}$

wobei $\begin{align*} g \end{align*}$ eine (in weiten Grenzen) beliebige reelle Funktion ist, und $\begin{align*} f \end{align*}$ die Dichte der stetigen Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ . So stimmt es, aber das wird wie gesagt hier nicht benötigt.

04.01.2018, 11:08

Mathe:(

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oh das klingt wirklich leicht

also wäre es für meinen fall

$\begin{eqnarray*} E(x^2)=VAR(x)+(E(x))^2 \end{eqnarray*}$

okay wie würde es z.b. mit X^2 - 1 aussehen? kann ich dann einfach auf der rechten und linken seite der gleichung -1 nehmen?

$\begin{eqnarray*} E(x^2)-1=VAR(x)+(E(x))^2-1 \end{eqnarray*}$

und 2x+4?

$\begin{eqnarray*} 2E(x)+4=2*100+4=204 \end{eqnarray*}$

das klingt irgendwie zu einfach Big Laugh

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ein paar aufgaben weiter ist noch nach der berechnung der varianz für 2x+4 gefragt

gibt es dafür auch eine ähnlich leichte formel?

04.01.2018, 11:17

HAL 9000

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Der Erwartungswertoperator ist linear. Das heißt, für alle reellen Zahlen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} E(aX+b) = aE(X)+b \end{align*}$ .

Daraus folgt dann auch via $\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=E((X-E(X))^2) \end{align*}$ die Formel

$\begin{align*} \operatorname{Var}(aX+b) = a^2\operatorname{Var}(X) \end{align*}$ .

Diese beiden grundlegenden Eigenschaften sollte man sich schon irgendwie merken.

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Was i.a. nicht gilt ist $\begin{align*} E(XY) \stackrel{?}{=} E(X)\cdot E(Y) \end{align*}$ .

Sind $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ unabhängig, so stimmt diese Gleichheit, in allen anderen Fällen aber i.a. nicht. So z.B. auch nicht im Fall $\begin{align*} X=Y \end{align*}$ bei echt zufälligem $\begin{align*} X \end{align*}$ .

Ebenso ist $\begin{align*} E(g(X)) \stackrel{?}{=} g(E(X)) \end{align*}$ bei nichtlinearen Funktionen $\begin{align*} g \end{align*}$ i.a. falsch.

Beides häufig anzutreffende Fehler.

04.01.2018, 12:17

Mathe:(

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okay das ist dann ja auch ganz easy, sobald man das weiß smile

vielen dank soweit, da werden sicher noch die tage einige fragen aufkommen Wink

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