Maß, (Zähl-)dichte und Verteilungsfunktion

04.01.2018, 17:17	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Maß, (Zähl-)dichte und Verteilungsfunktion Hallo zusammen, ich bin nach wie vor etwas unsicher, was die Vokabeln angeht und würde gerne da sicherer werden. Daher möchte ich mal notieren, wie ich das gelernt und verstanden habe und ob das so stimmt. Die Definitionen sind nicht das Problem, eher die Interpretation. (Wahrscheinlichkeits-)Maß Sei $\begin{eqnarray} (\Omega, \frak{A},\mathbb P) \end{eqnarray}$ ein Maßraum. $\begin{eqnarray} \mathbb P : \frak{A}\rightarrow \mathbb R_{+} \end{eqnarray}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 1) \mathbb P(\Omega) = 1 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \mathbb P(\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}(A_{n})) = \sum\limits_{n\in\mathbb N}\mathbb P(A_{n}) \end{eqnarray}$ für disjunkte Ereignisse $\begin{eqnarray} A_{n}\in\frak{A} \end{eqnarray}$ . Ein WM ist also sigma-additiv. Zähldichte Sei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ abzählbar. $\begin{eqnarray} f: \Omega\rightarrow\mathbb R_{+}, \sum\limits_{\omega\in\Omega}f(\omega)=1 \end{eqnarray}$ So gibt mir also zum Beispiel die Zähldichte beim Würfelwurf gerade die Wahrscheinlichkeit an, ein bestimmtes Ereignis zu erhalten ( "Würfel zeigt 5 an"). Dichte Die Dichte hingegen ist auf $\begin{eqnarray} (\mathbb R^{d},\frak{B}(\mathbb R^{d}))\rightarrow\mathbb R^{+}\cup\{\infty\} \end{eqnarray}$ definiert und erfüllt $\begin{eqnarray} \int\limits_{\mathbb R^{d}} fd\lambda^{d} = 1 \end{eqnarray}$ Sie gibt an, wie die stetigen Ereignisse verteilt sind. Die punktweise Auswertung der Dichte hat also keine Aussagekraft. Das führt zur Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(k) = \mathbb P(X \leq k) = \int\limits_{-\infty}^{k}fd\lambda^{1} \end{eqnarray}$ gibt mir die Wahrscheinlichkeit an, dass die (hier eindimensionale) Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich k annimmt. Beim "stetigen Würfel" würde ich also mit $\begin{eqnarray} \mathbb P(X\leq \pi) = \int\limits_{-\infty}^{\pi}fdx \end{eqnarray}$ die WKeit berechnen, einen Wert bis höchstens $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ zu erhalten. Allerdings kann ich diese auch im abzählbaren Fall verwenden. So gibt mir beim LaPlace-Würfel $\begin{eqnarray} F(5) = \int\limits_{0}^{5} fdx = \sum\limits_{n=1}^{5}\frac{1}{6} = \frac{5}{6} = \end{eqnarray}$ an, wie wahrscheinlich es ist, höchstens eine fünf zu würfeln. Hier lege ich dann entpsrechend die Zähldichte zugrunde. Habe ich das so richtig wiedergegeben?

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