Nullstellen

05.01.2018, 13:59

Raki

Nullstellen

Ich soll kritische Punkte berechnen. Also die $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=8\sqrt{9-3x}+\sqrt{3}x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{12}{\sqrt{9-3x}} +2\sqrt{3}x=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dies umforme, dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} 0=x^3-3x^2+4 \end{eqnarray*}$ .
Somit $\begin{eqnarray*} x=2 \vee x=-1 \end{eqnarray*}$ .

Jedoch hat $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nur die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ (Wolfram|Alpha).

Wo liegt mein Fehler?

05.01.2018, 14:10

klarsoweit

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RE: Nullstellen
Ich habe es jetzt nicht nachgerechnet, aber möglicherweise hast du an einer Stelle quadriert, wodurch sich eine Nullstelle eingeschlichen hat.

EDIT: Daß -1 keine Nullstelle sein kann, sie man leicht an der Gleichung $\begin{eqnarray*} +2\sqrt{3} x = \frac{12}{\sqrt{9-3x}} \end{eqnarray*}$ , denn die linke Seite ist dann negativ, die rechte Seite aber positiv. Augenzwinkern

Scheint mir eher in den Schulbereich zu gehören.

05.01.2018, 14:11

Raki.

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RE: Nullstellen
Und wie kann ich es lösen, ohne es zu quadrieren?

05.01.2018, 14:15

klarsoweit

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RE: Nullstellen
Nun ja, das Quadrieren ist durchaus eine valide Methode. Man muß nur wissen, daß man im Nachgang jede gefundene Lösung der dadurch erhaltenen Gleichung in der Ausgangsgleichung prüfen muß. smile

05.01.2018, 14:21

Raki..

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RE: Nullstellen
In der eigentlichen Aufgabenstellung wird angegeben dies sei eine weitere Möglichkeit die kritischen Punkte von $\begin{eqnarray*} f(x,y)=8x+\sqrt{3}y^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2+3y=9 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Jedoch ergeben sich mir mit Langrange die kritischen Punkte mit y=2 und y=-1. Hier jedoch erhält man nur y=2.
Also ist dies wohl doch keine geeignete Methode die kritischen Punkte ausfindig zu machen.

05.01.2018, 14:24

G040118

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RE: Nullstellen
Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} 108x^2-36x^3-144=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2-x^3-4=0 \end{eqnarray*}$

05.01.2018, 14:27

G040118

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RE: Nullstellen
PS:
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Nullstellen müssen überprüft werden.

05.01.2018, 14:28

HAL 9000

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RE: Nullstellen
Noch eine Ergänzung, auch wenn der Zug inzwischen schon ein Stück weitergefahren ist...

Zitat:

Original von Raki.
Und wie kann ich es lösen, ohne es zu quadrieren?

Nein, das Quadrieren ist schon Ok so. Quadrieren heißt auch immer, dass du dir Scheinlösungen einhandeln kannst, daher ist die Probe nötig.

Es gibt nur eine Alternative, die aber auch nicht sehr erbaulich ist: Vor jedem Quadrieren schaust du dir an, ob auch wirklich beide Gleichungsseiten dasselbe Vorzeichen haben - wenn dies nur der Fall ist unter einer zusätzlichen Bedingung an $\begin{align*} x \end{align*}$ , dann musst du diese im weiteren Fortgang der Rechnung "mitschleppen".

An das EDIT von klarsoweit anknüpfend würde das hier so aussehen: Nach Umformung

$\begin{align*} 2\sqrt{3} x = \frac{12}{\sqrt{9-3x}} \end{align*}$

steht rechts was garantiert positives, damit muss links auch was positives stehen, was also $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ erfordert - und diese Zusatzbedingung musst du die bis zum Ende der Rechnung in Erinnerung behalten!

Für Ungleichungen statt Gleichungen ist dies übrigens die übliche Vorgehensweise, dort auch öfter mal in Form von Fallunterscheidungen. Denn die Probe ist bei Ungleichungen mit i.d.R. ganzen Intervallen als Lösungsmenge meist nur sehr schlecht, um nicht zu sagen unmöglich durchführbar.

05.01.2018, 14:34

klarsoweit

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RE: Nullstellen

Zitat:

Original von Raki..
In der eigentlichen Aufgabenstellung wird angegeben dies sei eine weitere Möglichkeit die kritischen Punkte von $\begin{eqnarray*} f(x,y)=8x+\sqrt{3}y^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2+3y=9 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Jedoch ergeben sich mir mit Langrange die kritischen Punkte mit y=2 und y=-1. Hier jedoch erhält man nur y=2.
Also ist dies wohl doch keine geeignete Methode die kritischen Punkte ausfindig zu machen.

Das Problem ist nur, daß du bei der Auflösung von $\begin{eqnarray*} x^2+3y=9 \end{eqnarray*}$ nach x zwei Lösungen hast: $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{9-3y} \end{eqnarray*}$ Da mußt du also auch zwei Funktionen untersuchen. Geschickter ist, die Gleichung nach y umzustellen. smile

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