Umformung von Beträgen

05.01.2018, 14:46

Snexx_Math

Umformung von Beträgen

Hallo zusammen,

folgende Umformung verstehe ich nicht:

Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in [0,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+y| \cdot |x-y| \leq 2\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ Wieso ist das so ?

Für mich macht nur das Gegenteil Sinn, also:

$\begin{eqnarray*} |x+y| \cdot |x-y| \geq 2\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} |x+y| \cdot |x-y| \leq 2\cdot |x+y| \end{eqnarray*}$

Wie kommt man nun auf die Umformung von oben ?

05.01.2018, 14:55

klarsoweit

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RE: Umformung von Beträgen
Nun ja, wir sind uns einig, daß in jedem Fall $\begin{eqnarray*} |x+y| \leq 2 \end{eqnarray*}$ gilt?

05.01.2018, 14:56

Snexx_Math

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RE: Umformung von Beträgen
Ja sind wir, da $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\leq 1 \end{eqnarray*}$ somit folgt: $\begin{eqnarray*} x+y \leq 2 \end{eqnarray*}$

05.01.2018, 14:58

klarsoweit

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RE: Umformung von Beträgen
Nun ja, da x und y nicht negativ sind gilt auch $\begin{eqnarray*} |x+y| \leq 2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.01.2018, 14:58

HAL 9000

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Für $\begin{align*} x,y \in [0,1] \end{align*}$ ist sicher $\begin{align*} x+y\in[0,2] \end{align*}$ , daraus folgt

$\begin{align*} |x+y|\leq 2 \end{align*}$ . Da jetzt nur noch $\begin{align*} |x-y| \end{align*}$ dranmultipliziert ergibt die Behauptung - also nix mit Gegenteil und so. unglücklich

$\begin{align*} |x+y| \cdot |x-y| \leq 2\cdot |x+y| \end{align*}$ steht auf einem anderen Blatt: Ist richtig, aber viel zu grob, da kann man sogar schärfer $\begin{align*} |x+y| \cdot |x-y| \leq |x+y| \end{align*}$ abschätzen. Augenzwinkern

05.01.2018, 15:05

Snexx_Math

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RE: Umformung von Beträgen
Ok habs jetzt verstanden:

Es gilt ja : $\begin{eqnarray*} |x+y| \leq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-y| \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , daher kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} |x+y| \cdot |x-y| \leq 2\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

05.01.2018, 15:15

HAL 9000

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Wobei das hier

Zitat:

Original von Snexx_Math
und $\begin{eqnarray*} |x-y| \in [0,1] \end{eqnarray*}$

völlig unerheblich ist: Beim Dranmultiplizieren genügt einzig und allein die Eigenschaft $\begin{align*} |x-y| \geq 0 \end{align*}$ , und die ist für alle reellen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ erfüllt.

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