Quadrik, Hauptachsentransformation

05.01.2018, 17:18

keinmathefuchs1234

Quadrik, Hauptachsentransformation

Meine Frage:
Hallo, kann mir jemand helfen wie ich durch Hauptachsentransformation und quadratischer Ergänzung auf die Normalform komme?
Vielen Dank!

Berechnen Sie die Normalform der Quadrik

p(x,y,z)=x^2 - yz - 2x + 3y - 3z + 4 = 0; ?R3

und klassifizieren Sie sie.

Meine Ideen:
.

05.01.2018, 19:00

sixty-four

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Wo ist denn dein Problem? Das musst du schon sagen.

Als erstes musst du mal die Matrix A für die quadratische Form aufstellen. Die ist doch ziemlich einfach, wenn ich das recht sehe. Dann berechnest du die Eigenwerte (in dem Fall auch ziemlich einfach) und Eigenvektoren. Dann bekommst du eine orthogonale Matrix, mit der du deine Matrix A in eine Diagonalform bringen kannst.

05.01.2018, 19:27

keinmathefuchs1234

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Hallo, erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich habe so eine Aufgabe noch nie bearbeitet und komme nicht auf die Matrix A.
Ich soll die angehängte Form verwenden, weiß aber nicht wie ich die anwenden soll.

05.01.2018, 19:51

sixty-four

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Den ersten Teil nennt man quadratische Form, wenn die Matrix A symmetrisch ist. Das heißt $\begin{eqnarray*} A_{ik}=A_{ki} \end{eqnarray*}$ Wenn du das ausmultiplizierst, siehst du, dass da alle Quadrate und die gemischten Terme vorkommen.
Das sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} A_{11}x^2+A_{22}y^2+A_{33}z^2+2A_{12}xy+2A_{13}xz+2A_{23}yz \end{eqnarray*}$

Folglich muss deine Matrix so aussehen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kommst du damit weiter?

05.01.2018, 20:31

keinmathefuchs1234

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Ich versteh noch nicht ganz wie ich auf die Matrix komme, aber kann immerhin mal ein bisschen weiter rechnen.
Vielen Dank.

06.01.2018, 07:50

sixty-four

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Zitat:

Original von keinmathefuchs1234
Ich versteh noch nicht ganz wie ich auf die Matrix komme
Vielen Dank.

Ganz einfach durch Koeffizientenvergleich. Bei dir ist

$\begin{eqnarray*} A_{11}x^2+A_{22}y^2+A_{33}z^2+2A_{12}xy+2A_{13}xz+2A_{23}yz=x^2-yz \end{eqnarray*}$

also ist
$\begin{eqnarray*} A_{11}=1, A_{22}=A_{33}=0, A_{12}=A_{13}=0, A_{23}=-\frac12 \end{eqnarray*}$

06.01.2018, 17:15

keinmathefuchs1234

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Ah, das macht es um einiges klarer.
Vielen Dank für die Hilfe.

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