Bestimme Mengen von Homomorphismus:

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05.01.2018, 17:50	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme Mengen von Homomorphismus: Meine Frage: Schönen Guten Abend zusammen! Ich habe gerade ein paar Probleme mit folgender Aufgabe: Betrachte: $\begin{eqnarray} \gamma = e^{\frac{2\pi i}{3} } , \alpha =\sqrt[3]{2},\beta =\alpha \gamma =\sqrt[3]{2}e^{\frac{2\pi i}{3} } \end{eqnarray}$ nun bestimme: a) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb Q (\alpha)) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\bar{\mathbb Q}) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb C) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\mathbb Q (\alpha ,\beta )) \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha ,\beta ),\bar{\mathbb Q}) \end{eqnarray}$ f) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha ,\beta ),\mathbb C) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Mir ist leider nicht klar wie ich diese Homomorphismen als Mengen schreiben kann, ich habe mir vorab ein paar Überlegungen zu den Erweiterungen gemacht, z.B.: es ist ja $\begin{eqnarray} [\mathbb Q (\alpha ):\mathbb Q] =4 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} [\mathbb Q (\alpha ):\mathbb Q (\alpha )] =0 \end{eqnarray}$ aber ich verstehe nicht ganz wie das gemeint ist, dass man den Hom. als Menge schreiben kann, was sollen den diese Elemente in der Menge dann angeben bzw. über den Hom. aussagen? Habe leider keine anderen Beispiele im Internet gefunden anhand derer ich mir dies hätte erklären können, somit hoffe ich, dass einer von euch mir weiterhelfen kann. Mir wäre sehr geholfen wenn wir nur mal Beispiel a) lösen/erklären könnten, sodass ich den Rest selbst versuchen kann Gruß Chrissi
06.01.2018, 09:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Grade der Körpererweiterungen hast du falsch berechnet. Für jeden Körper K ist (K:K)=1, und weil $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ ist, ist $\begin{eqnarray} (\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q)=3 \end{eqnarray}$ . Körperhomomorphismen vertauschen die Nullstellen von Minimalpolynomen und fixieren den Grundkörper. $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha)\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ , darin gibt es keine weiteren Nullstellen von $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ , damit ist a) schon (fast) beantwortet. Warum man bei den Homomorphismen zwischen $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ unterscheiden soll, verstehe ich nicht.
06.01.2018, 13:43	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} [\mathbb Q (\alpha ):\mathbb Q (\alpha )] =1 \end{eqnarray}$ handelte es sich um einen Tippfehler, entschuldige, jedoch bei $\begin{eqnarray} [\mathbb Q (\alpha ):\mathbb Q] =3 \end{eqnarray}$ hatte ich einen Denkfehler, danke für den Hinweis auf das Minimalpolynom! ´ Bezüglich des in a) genannten Körperhomomorphismus möchte ich gerne noch einmal nachhacken: Ich weiß das $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ eine Nullstelle in R besitzt und zwar Alpha, die beiden anderen Nullstellen liegen in C. Nun sagts du "Körperhomomorphismen vertauschen die Nullstellen von Minimalpolynomen und fixieren den Grundkörper.", darunter stelle ich mir nun vor, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha)\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ bzw. Alpha zu sich selbst natürlich das selbe Minimalpolynom $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ besitzt und somit das vertauschen der Nullstellen nichts bewirkt, da beide gleich sind. Meine Vermutung wäre also: $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb Q (\alpha)) = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ zu b) ich meine mich zu erinnern das gilt: $\begin{eqnarray} \bar{\mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray}$ So nun verstehe ich nicht ganz wie ich ein Minimalpolynom über dem Abschluss von Q bestimmen kann? Intuitiv jedoch würde ich behaupten, da in R keine weiteren Nullstellen liegen (wie zuvor), sodass auch hier gilt: $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\bar{\mathbb Q}) = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ zu c) Intuitiv: da in C nun die beiden weiteren Nullstellen des Minimalpolynoms von Alpha liegen, könnte hier gelten: $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb C) = \left\{ -\sqrt[3]{-2} , (-1)^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{2}\right\} \end{eqnarray}$ Würde mich sehr über Korrekturen und Bemerkungen freuen! (zählt diese Vorgehensweise überhaupt als Beweis?) Gruß Chrissi
06.01.2018, 14:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Besser: $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb Q (\alpha)) = \left\{ \iota\right\} \end{eqnarray}$ . Es gibt nichts zu vertauschen, also ist der einzige Homomorphismus die Identität. $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist nicht der algebraische Abschluß $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb Q} \end{eqnarray}$ sondern die Vervollständigung bezüglich des Absolutbetrages. $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb Q} \end{eqnarray}$ entsteht aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ indem man alle algebraischen Zahlen adjungiert. Deshalb verstehe ich auch nicht, wieso wir zwischen $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ unterscheiden sollen, wenn wir Homomorphismen suchen. Der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ muss den Grad 3!=6 haben, die Galoisgruppe kann also nur die symmetrische Gruppe der Ordnung 3! sein. (Siehe auch Siegfried Bosch "Algebra" 4.3 "Die Galois-Gruppe einer Gleichung". Da werden insbesondere Gleichungen 2. und 3. Grades und spezielle Gleichungen 4. Grades behandelt.) Homomorphismen sind keine algebraischen Zahlen sondern Abbildungen.
07.01.2018, 14:10	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die weiteren Hinweise, ich habe vorhin auch noch eine ähnliche Aufgabenstellung gefunden, in der du auch schon sehr Hilfreiche Tipps gegeben hast. (siehe ww w.matheboard. de/archive/575844/thread.htm, darf ja sonst keine URLs posten) Damit bin ich nun auf folgenden Lösungsansatz gekommen: zu a) (wie zuvor) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb Q (\alpha)) = \left\{ Id \right\} \end{eqnarray}$ zu b) zu c) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb C) = \left\{ Id, g, h\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g: \sqrt[3]{2} \mapsto -i^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{2}, g(x)= -i^{\frac{2}{3}}x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: \sqrt[3]{2} \mapsto (-1)^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{2}, g(x)= (-1)^{\frac{2}{3}}x \end{eqnarray}$ sodass in C nun auch die beiden anderen Nullstellen des Min.-Polynoms $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ vertauscht werden. Ist die Schreibweise so in Ordnung? ( Bedenke: $\begin{eqnarray} (-1)^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2} e^{\frac{2\pi i}{3} } = \alpha \gamma = \beta \end{eqnarray}$ ) zu d) Analog zu a) würde ich Behaupten $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\mathbb Q (\alpha ,\beta )) = \left\{ Id \right\} \end{eqnarray}$ , bin mir jedoch nicht sicher, da wir hier nicht nur die Nst. Alpha haben, sondern auch Beta, gilt es somit vielleicht auch die Abbildung anzugeben, welche Alpha nach Beta abbildet ? zu e) zu f) hängt noch von der Einschätzung/Lösung von d) ab... zu b) und d) würde ich dann dasselbe wie zu c) und f) vermuten, wie auch schon deiner anfänglichen Bemerkung zu entnehmen ist und ich nach erneuter Recherche bzgl. des Abschlusses von Q, hier die Unterscheidung zwischen Abschluss von Q und C keinen wirklichen Unterschied liefert. Gehe ich zudem richtig in der Annahme, dass wenn ein Minimalpolynom den Rang 3 hat (wie hier das zu Alpha), dass dann auch höchstens 3 Hom. gefunden/angegeben werden können ?
07.01.2018, 14:13	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur: Vorletzter Absatz: anstatt "zu b) und d)" ist gemeint "zu b) und e)".
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07.01.2018, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Schreibweise bei c) ist unerfreulich. Schreibe die Abbildungen konsequent mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ auf und auf gar keinen Fall mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Bei d) bist du auf dem falschen Trip. $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ ist der Galoiskörper, der alle benötigten Nullstellen enthält und deshalb alle 6 Homomorphismen zulässt. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ wird nicht nach $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ abgebildet. Ich hatte schon gesagt, dass die Nullstellen irreduzibler Polynome permutiert werden. Noch ein Tipp, für den Fall, dass dich die Theorie (noch) nicht interessiert und du lieber selbst rechnest. Über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} (\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q)=3 \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ den Grad $\begin{eqnarray} (\mathbb Q(\alpha,\beta):\mathbb Q(\alpha))=2 \end{eqnarray}$ haben, damit der Grad von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ passend $\begin{eqnarray} (\mathbb Q(\alpha,\beta):\mathbb Q)=6 \end{eqnarray}$ wird. Das heißt auch, dass $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ Nullstelle eines quadratischen Polynoms ist, sogar schon über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ .
08.01.2018, 12:12	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp, ich stehe leider noch sehr am Anfang der Galoistheorie und bin umso erfreuter wenn ich mal etwas nachrechnen kann Also zur Überarbeitung: zu a) (wie zuvor) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb Q (\alpha)) = \left\{ Id \right\} \end{eqnarray}$ zu b) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\bar{\mathbb Q}) = \left\{ Id, g, h\right\} \end{eqnarray}$ zu c) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb C) = \left\{ Id, g, h\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g: \sqrt[3]{2} \mapsto e^{\frac{-2\pi i}{3} }\sqrt[3]{2}, g(\alpha )= \sqrt[3]{2} e^{\frac{-2\pi i}{3} } = \alpha \bar{\gamma} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: \sqrt[3]{2} \mapsto e^{\frac{2\pi i}{3} }\sqrt[3]{2}, h(\alpha)= \sqrt[3]{2} e^{\frac{2\pi i}{3} } = \alpha \gamma = \beta \end{eqnarray}$ zu d) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\mathbb Q (\alpha ,\beta )) = \left\{ Id, g, h ,g^{-1} ,h^{-1} ,k \right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k: \alpha \gamma\mapsto \alpha \bar{\gamma} ,k(\sqrt[3]{2}e^{\frac{2\pi i}{3}} )= \sqrt[3]{2}e^{\frac{-2\pi i}{3}} \end{eqnarray}$ zu e) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\bar{\mathbb Q}) = \left\{ Id, g, h ,g^{-1} ,h^{-1} ,k \right\} \end{eqnarray}$ zu f) $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\mathbb C) = \left\{ Id, g, h ,g^{-1} ,h^{-1} ,k \right\} \end{eqnarray}$ Bin noch etwas verunsichert was d), e) und f) angeht, da hier alle Mengen gleich sind. Sollte dies eventuell absichtlich so gewählt sein oder liegt in meiner Betrachtung noch ein Fehler vor?
08.01.2018, 13:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Teil scheint zu stimmen. $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb Q (\alpha)) = \left\{ Id \right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha),\bar{\mathbb Q}) = Hom(\mathbb Q (\alpha),\mathbb C) = \left\{ Id, g, h\right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(a)=ab; h(a)=ab^2 \end{eqnarray}$ Als Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray}$ sind damit die Abbildungen vollständig beschrieben, denn $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ bleibt fest. Die Gruppe kann aufgefaßt werden als die zyklische Gruppe der Drehungen um 0,120, 240 Grad, wobei die Wurzeln von $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ gedreht werden, allerdings liegen diese Wurzeln in drei konjugierten Teilkörpern von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ . Ob diese Darstellung richtig ist, weiß ich nicht genau. vielleicht erklärt das, warum in der Aufgabe zwischen Homomorphismen nach $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb Q} \end{eqnarray}$ und nach $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ unterschieden wird. Der zweite Teil ist falsch, das kann schon deshalb nicht sein, weil $\begin{eqnarray} h=g^{-1} \end{eqnarray}$ ist. Richtig ist m.E., dass die drei Gruppen gleich sind. Richtig ist auch, dass zu den Drehungen die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ dazukommt. Du musst die Abbildungen vollständig beschreiben. Vielleicht hilft dir ein Bild weiter (habe leider die Bezeichnungen geändert, nicht absichtlich):
08.01.2018, 18:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein paar Sachen, die mir aus der Galoistheorie eingefallen sind: Zu jedem kubischen Teilkörper (d.h. Grad $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ ) gehört eine Fixgruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} 6:3=2 \end{eqnarray}$ , zusätzlich zur Identität gibt es also noch je einen Homomorphismus, der den kubischen Teilkörper fixiert. Die Fixgruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q(\alpha,\beta)/\mathbb Q(\alpha)) \end{eqnarray}$ ist offensichtlich $\begin{eqnarray} \{Id,k\} \end{eqnarray}$ , die Fixgruppen zu den konjugierten Körpern müssen konjugierte Untergruppen sein, also jeweils die Identität und das Produkt aus einer Drehung und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ enthalten. Dass das so ist, kann man leicht nachrechnen. Der quadratische Teilkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma) \end{eqnarray}$ wird von einer Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} 6:2=3 \end{eqnarray}$ fixiert, das kann ja nur die Drehgruppe aus der Aufgabe c) sein.
09.01.2018, 11:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Thema interessiert mich auch, daher möchte ich bitte gelegentlich eine Rückmeldung. Insbesondere will ich wissen, ob oder ob nicht es einen Unterschied macht, Homomorphismen nach $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb Q} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ zu betrachten. Außerdem hätte ich gerne eine vollständige und konsistente Musterlösung gesehen, weil ich selbst nicht die ganz große Lust und Zeit zum Rechnen und Darstellen habe.
09.01.2018, 20:51	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige die verspätete Antwort. Die Musterlösung bekomme ich erst nächste Woche Freitag, würde sie dann auch hier posten. Aber nochmal zur Aufgabe: Ich hoffe ich deute deinen vorletzten Beitrag richtig und du meintest darin, dass die letzten Hom. wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\mathbb Q (\alpha ,\beta )) = Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\bar{\mathbb Q}) = Hom(\mathbb Q (\alpha , \beta ),\mathbb C) = \left\{ Id, g, h ,g^{} ,h^{} ,k \right\} \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} g(\alpha )=\alpha \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(\alpha )=\alpha \gamma^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k(\alpha \gamma)=\alpha \bar{\gamma} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g^{}(\alpha )= k(g(\alpha))= \alpha \bar{\gamma} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h^{}(\alpha )= k(h(\alpha))= \alpha \bar{\gamma^2} \end{eqnarray}$ liege ich da richtig? In diesem Zusammenhang wollte ich mir gern auch nochmal den Begriff einer "normalen" Körpererweiterung veranschaulichen. Definition: L/K heißt normale Erweiterung, wenn alle Minimalpolynome über K von Elementen aus L in L vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Mir ist klar das dann $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha)/\mathbb Q \end{eqnarray}$ nicht normal ist, da das Minimalpolynom von Alpha $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ komplexe Nullstellen hat, welche nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha) \end{eqnarray}$ liegen. Aber wie sieht es aus mit $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha, \beta)/\mathbb Q \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha, \beta)/\mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha, \beta)/\mathbb Q (\alpha, \beta) \end{eqnarray}$ ? Anhand der bisherigen Aufgaben und der Schlussfolgerung, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha, \beta) \end{eqnarray}$ schon alle Nullstellen des Minimalpolynoms von Alpha enthält, sollte es somit ja auch vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Oder besitzt Beta ein anderes Minimalpolynom, welches Nullstellen außerhalb von $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\alpha, \beta) \end{eqnarray}$ besitzt? Bin da gerade etwas verwirrt, bitte um Hilfe!
09.01.2018, 22:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig aber nicht ganz. Zu konjugierten Körpern gehören konjugierte Homomorphismen. Also $\begin{eqnarray} g=g^{-1}kg, h=h^{-1}kh \end{eqnarray}$ . Homomorphismen wirken auf allen Nullstellen, nicht nur auf $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , deswegen gibt es etwas mehr zu rechnen. Außerdem ist $\begin{eqnarray} \overline {\gamma}=\gamma^2 \end{eqnarray}$ . Der Zerfällungskoerper von X^3-2 ist normal vom Grad 6 über Q und enthält alle Punkte, die ich eingezeichnet habe. $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ besitzt ein quadratisches Minimalpolynom.
10.01.2018, 11:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dich die Galoistheorie so sehr interessiert wie sie es sollte, müsstest du noch für jeden der 5 Erweiterungskörper eine Basis angeben und ein primitives Element für $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ berechnen. Eine Tabelle, aus der man ablesen kann, was die Homomorphismen mit diesen Elementen machen, habe ich noch nie gesehen, wäre aber sicher lehrreich. Die Tabelle sollte dann die Wirkung aller Homomorphismen auf allgemeine Körperelemente deutlich machen. Alle Punkte in mein Bildchen eintragen und konsistent bezeichnen, ist eine lohnende Fleißarbeit - wenn du nicht weißt, was du am Wochenende tun sollst.

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