Bogenlänge berechnen

05.01.2018, 18:37	Roland Gazi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge berechnen Meine Frage: Berechnen Sie die Bogenlänge folgender Kurve: $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 [0; 2\sqrt{5}] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1) \int_{0}^{2\sqrt{5} } \! \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} 2x = tan (z) \Rightarrow z = arctan (2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z' = \frac{1}{(2x)^2 + 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx = ((2x)^2 + 1) dz = tan^2(z) + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos z = \frac{1}{\sqrt{tan^2(z) + 1} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \int_{z(0)}^{z(2\sqrt{5})} \! \frac{1}{cos (z) cos^2(z)} \, dz = \int_{z(0)}^{z(2\sqrt{5}} \! \frac{1}{cos(z) * (1 - sin^2(z))} \, dz \end{eqnarray}$ Soweit, so schlecht.. Ich habe diesbezüglich zwei Fragen: 1. Frage: Wie schaffe ich es Gleichung (2) so umzuschreiben, dass der Typ "Phönix" ("endlose Schleife") nicht als Ergebnis kommt? 2. Frage: Laut "Formeln+Hilfe", Binomi Verlag (S.115; 207), ist das unbestimmte Integral $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{cos^3 (ax)} \, dx = \frac{sin (ax)}{2cos^2 (ax)} + \frac{1}{2} * ln( tan ( \frac{ax}{2} + \frac{\pi}{4})) \end{eqnarray*}$ Abgesehen davon, dass ich per "Hand" nicht darauf kommen würde, habe ich für a = 1 und x = z eingesetzt. Der Wert ist knapp doppelt so hoch wie die Musterlösung auf Wolfram. Meins: ~ 41,693... Wolfram / Matheskript: ~ 20,846 Lösung ist mir bekannt, Lösungsweg kann ich nicht nachvollziehen. Kann mir jemand helfen? Vielen Dank! (Priorität: 1. Frage > 2. Frage)
05.01.2018, 23:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wegen deines Fehlers ist das Ergebnis nicht KNAPP doppelt so hoch, sondern EXAKT doppelt so hoch. Was schließt du daraus? Es kann sich nur um eine vergessene $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ bei der inneren Ableitung (Kettenregel) handeln. Diese 2 ist die Ableitung von 2x in der Substitution 2x = tan(z). Die zu berechnende Bogenlänge lautet hiermit $\begin{eqnarray} s = \textcolor{red}{\frac 1 2} \int_0^{1.4594553} \frac 1 {\cos^3 z} \ \dd z = 20.84643 \end{eqnarray}$ BTW: Mit Endlosschleife meintest du wohl "Möbius", "Phönix" ist mir unbekannt in diesem Zusammenhang. mY+

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