Grenzwert von tanhx

05.01.2018, 19:40	LaLiLuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von tanhx Meine Frage: Es ist gegeben, dass $\begin{eqnarray} tanh x=\frac{sinh x}{cosh x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} sinh x=\frac{e^{x}- e^{-x} }{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x} }{2} \end{eqnarray}$ und ich soll $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } tanh x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } tanh x \end{eqnarray}$ berechnen. Wir haben Grenzwerte von Funktionen gegen unendlich so definiert:Es existiert ein Grenzwert b von f bei $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ , falls gilt: Zu jedem Epsilon >0 gibt es ein K>0, so dass für alle $\begin{eqnarray} x\in D\cap (K,+\infty ) \end{eqnarray}$ die Ungleichung \| f(x)-b \| <Epsilon erfüllt ist. Meine Ideen: Jetzt habe ich die gegebenen Gleichungen von sinhx und coshx in tanhx eingesetzt und $\begin{eqnarray} tanhx=\frac{e^{x}-e^{-x} }{e^{x}+e^{-x}} \end{eqnarray}$ erhalten und die Ungleichung aus der Definition mit meinem vermuteten Grenzwert berechnet: $\begin{eqnarray} \| (tanhx - 1 )\| =\| \frac{e^{x}-e^{-x} }{e^{x}+e^{-x} }-1 \| =\| \frac {e^{x}-e^{-x} }{e^{x}+e^{-x} }- \frac {e^{x}+e^{-x} }{e^{x}+e^{-x} } \| =\|\frac{0}{e^{x}+e^{-x} } \| < Epsilon \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich allerdings nicht, ob das überhaupt erstmal so richtig ist und wie ich das dann ordentlich als Beweis aufschreiben muss. Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
05.01.2018, 22:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du allerdings einen argen Lapsus begangen ... (Vorzeichenfehler, in den Zähler kommt bestimmt NICHT Null!) mY+ Weshalp postest du dieses Thema in Bücher & Software - LaTeX ?? Ich werd's mal verschieben.
06.01.2018, 13:31	LaLiLuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, verdammt Da war ich wohl ganz schön verpeilt. Danke für's Verschieben. Also ich hab jetzt nochmal nachgerechnet und folgendes rausbekommen: $\begin{eqnarray} \| \frac{e^{x}-e^{-x} }{e^{x}+e^{-x} } - \frac{e^{x}+ e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \| =\| \frac{-2}{e^{2x}+1} \| \end{eqnarray}$ Stimmt das jetzt so?
06.01.2018, 20:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt ist's richtig (allerdings für $\begin{eqnarray} x \to +\infty \end{eqnarray}$ ). Nun den Betrag loswerden und die Ungleichung verifizieren ( $\begin{eqnarray} \epsilon < 2 \end{eqnarray}$ ist sinnvoll). mY+

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