Äqu.Rel. auf M_{n,n}(K)^s

05.01.2018, 22:47	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Äqu.Rel. auf M_{n,n}(K)^s Hallo Mathematiker, ich habe ein interessantes Problem: Es sei zunächst folgende Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray} M_{n,n}(K)^2 \end{eqnarray}$ definiert: $\begin{eqnarray} (A_1,A_2) \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} (D_1,D_2) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \exists S_1,S_2,S_3 \in GL_n(K): D_1=S_2 \circ A_1 \circ S_1^{-1} \wedge D_2=S_3 \circ A_2 \circ S_2^{-1} \end{eqnarray}$ Alle Matrizen der GLn können als Basistransformation interpretiert werden. Was dort steht ist also ein paar von Abbildungsmatrizen $\begin{eqnarray} (A_1,A_2) \end{eqnarray}$ der beiden Abbildungen $\begin{eqnarray} \varphi_1,\varphi_2 \end{eqnarray}$ welches äquvalent zu zwei Abildungsmatrizen $\begin{eqnarray} (D_1=A_{B_{2},B_{1}}^{\varphi_1},D_2=A_{B_{3},B_{2}}^{\varphi_2}) \end{eqnarray}$ ist, falls es diese Basen geben kann. Ich suche nun alle Äquivalenzklassen und je einen Repräsentanten. Ich habe mir überlegt, dass es die Klassen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit r=Rang $\begin{eqnarray} \varphi_1 \end{eqnarray}$ =Rang $\begin{eqnarray} \varphi_2 \end{eqnarray}$ gibt, wobei E_r einfach der Teil der Matrix sein soll, bei dem auf der Diagonalen nur 1 stehen und sonst 0. Das gibt also schonmal n-Äquvalenzklassen, da der max Rang = n ist. Nun wird es aber auch solche geben, bei dem man beide Abbildungsmatrizen A_1,A_2 nicht beide in diese "orthogonale" Form bringen kann, weil beide Abbildungsmatrizen die Transformation S_2 enthalten. Es kann also z.B. passieren, dass eine Orthogonal wird, aber die andere nicht. Meine Frage ist jetzt: Wie viele Äquivalenzklassen bekomme ich dadurch? Im Prinzip könnten es unendlich viele sein oder nicht? Denn wenn eine der beiden Matrizen in der "hübschen" Form ist, kann die andere ja beliebig aussehen... :C MfG Michel
05.01.2018, 23:09	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Michel99, habe mir das mal kurz angeschaut und zumindest feststellen können, dass es die Klasse [(E_n, E_n)] aller derjenigen Matrizen (A,B) gibt mit Rang A = Rang B = n (also A, B invertierbar). Mein Tipp wäre nun, dass dein Tipp in genau die richtige Richtung geht und es genau die Klassen $\begin{eqnarray} \left[\left(\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} E_s & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)\right] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq r, s \leq n \end{eqnarray}$ gibt, also die Äquivalenzrelation partitioniert die Matrizen(paare) nach ihren Rängen. Dazu wäre es hilfreich zu wissen, ob es zu zwei gegebenen n x n-Matrizen A, B mit Rang k stets eine invertierbare Matrix T gibt mit B = TA (ich glaube, das ist der Fall, da sie sich durch Zeilenumformungen ineinander überführen lassen, also kann man entsprechend T als Produkt von Elementarmatrizen wählen). LG sibelius84
06.01.2018, 11:28	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, falls es möglich sein sollte, dass man immer beide Matrizen in die E_r Form bringen kann, dann gibt es 2^2 (verallgemeinert n^2?) Äquivalenzklassen. Das sind dann einfach alle möglichen Kombinationen von 2 Matrizen mit Rängen r und s. Fragt sich, ob das wirklich immer geht, oder ob man bei einer der beiden Matrizen an manchen Stellen, die nicht auf der Orthogonalen liegen einen Eintag ungleich 0 behält.
06.01.2018, 20:42	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass du orthogonal mit diagonal verwechselst?
13.01.2018, 18:15	Michel99	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup, entschuldigung. Ich hab mal nachgefragt und es gibt mehr als n^s Äquivalenzklassen. Es bringt einen irgendwie weiter, wenn man 2 Abbildungsmatrizen, die man einer Äqu. Rel. zuordnen will verknüpft,weil dann die GLn in der Mitte verschwindet, aber ich hab keine Ahnung, was das bringen soll. Danke für die Hilfe, aber ich kann das nicht lösen. Schade eigentlich. Vielleicht hat jemand anders Spaß mit dieser Aufgabe. :c

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