Komplex linearer Abbildungen

06.01.2018, 13:21

Melanie233

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Komplex linearer Abbildungen

Also es geht um folgende Aufgabe:

Gegeben sei ein Komplex V• von K-linearen Abbildungen
$\begin{eqnarray*} 0\overset{f_{n+1}}{\rightarrow}V_n \overset{f_{n}}{\rightarrow} V_{n-1}\overset{f_{n-1}}{\rightarrow} .... \overset{f_{2}}{\rightarrow} V_1 \overset{f_{1}}{\rightarrow} V_0 \overset{f_{0}}{\rightarrow} 0 \end{eqnarray*}$

Warum sind die Quotientenvektorräume $\begin{eqnarray*} H_i \end{eqnarray*}$ (V•) $\begin{eqnarray*} := ker f_i/imf_{i+1} \end{eqnarray*}$ für solche Komplexe wohldefiniert?

Wie zeige ich das genau? Was ist der Ansatz dafür? verwirrt

verwirrt

06.01.2018, 13:49

NurEinGast

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Nutze die Definition eines Komplexes (für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f_k \circ f_{k+1} = 0 \end{eqnarray*}$ ) und, dass ein Quotientenraum $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist, falls $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist.

06.01.2018, 14:38

Melanie233

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Wie kann ich das dann zeigen. Ich verstehe es leider noch nicht verwirrt

verwirrt

06.01.2018, 14:40

NurEinGast

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Was musst du denn für die Wohldefiniertheit der $\begin{eqnarray*} H_i \end{eqnarray*}$ zeigen? Les meinen Beitrag noch einmal.

06.01.2018, 15:00

Melanie233

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$\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ muss ein UR von $\begin{eqnarray*} ker f_i \end{eqnarray*}$ sein.

Und

Zitat:

dass ein Quotientenraum $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist, falls $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist.

Dies gilt denn z.b bei Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} v + U , w + U \in W/U \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} v-w \in U. \end{eqnarray*}$

Da U UR folgt $\begin{eqnarray*} a(v-w) \in U \Rightarrow a v+U=aw+U \end{eqnarray*}$

D.h U muss ein UR sein.

Also nur zum Verständnis smile

smile

Bei der Aufgabe muss ich doch dann für $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ die 3 UR-Kriterien prüfen?

06.01.2018, 15:10

NurEinGast

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Zitat:

Original von Melanie233
$\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ muss ein UR von $\begin{eqnarray*} ker f_i \end{eqnarray*}$ sein.

Und

Zitat:

dass ein Quotientenraum $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist, falls $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist.

Stimmt.

Zitat:

Original von Melanie233
Dies gilt denn z.b bei Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation gilt:

Sei $\begin{eqnarray*} v + U , w + U \in W/U \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} v-w \in U. \end{eqnarray*}$

Da U UR folgt $\begin{eqnarray*} a(v-w) \in U \Rightarrow a v+U=aw+U \end{eqnarray*}$

D.h U muss ein UR sein.

Also nur zum Verständnis smile

smile

Beim ersten Teil stimmts nicht ganz: Es gilt $\begin{eqnarray*} v + U = w+ U \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} v-w \in U \end{eqnarray*}$ . (Ansonsten fehlen Quantifizierungen.)

Zitat:

Original von Melanie233
Bei der Aufgabe muss ich doch dann für $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ die 3 UR-Kriterien prüfen?

Nein - dass das Bild einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Zielrraums ist, sollte schon bekannt sein. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum des Kernes von $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ ist!

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06.01.2018, 15:16

Melanie233

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Zitat:

Original von NurEinGast

Beim ersten Teil stimmts nicht ganz: Es gilt $\begin{eqnarray*} v + U = w+ U \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} v-w \in U \end{eqnarray*}$ . (Ansonsten fehlen Quantifizierungen.)

Aber au $\begin{eqnarray*} s v+U=w+U \end{eqnarray*}$ folgt doch dass $\begin{eqnarray*} v-w \in U \end{eqnarray*}$ ist. Wie muss es denn richtig sein?

Also dann Nachweis für $\begin{eqnarray*} im f_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist UR von im $\begin{eqnarray*} ker f_n \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} im f_{n+1} \ne \emptyset \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} 0 \in im f_{n+1} \end{eqnarray*}$ weil K - lineare Abbildungen 0 auf 0 abbilden.
Geht das erstmal so?

06.01.2018, 15:20

NurEinGast

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$\begin{eqnarray*} v+U = w+U \Rightarrow v-w \in U \end{eqnarray*}$ ist richtig.

In deinem zitierten Beitrag steht aber was anderes.

Ansonsten hat das nicht so viel mit der Aufgabe zu tun, ist aber natürlich wichtig fürs Verständnis.

Das Einzige, was zu zeigen ist, ist, dass $\begin{eqnarray*} im(f_{i+1}) \subset ker(f_i) \end{eqnarray*}$ . Hast du eine Idee, wie man das machen könnte?

06.01.2018, 15:22

Melanie233

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Schau mal meinen Edit an, ob das so geht? smile

smile

06.01.2018, 15:29

NurEinGast

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Noch einmal:

Sei $\begin{eqnarray*} f \colon V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung. Es sollte schon in der Vorlesung (oder als Übungsaufgabe) bewiesen worden sein, dass $\begin{eqnarray*} im(V) \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist! (*)

Bezogen auf die Aufgabe bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} im(f_{i+1}) \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ ist. Das reicht uns aber nicht: Wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} im(f_{i+1}) \end{eqnarray*}$ sogar in $\begin{eqnarray*} ker(f_i) \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Zu (*):
Wenn dir nicht klar ist, dass das Bild einer linearen Abbildung ein Untervektorraum ist, kannst du es gerne noch einmal zeigen und ich werde es mir anschauen. Das erste Axiom hast du jedenfalls (bis auf den Index der Abbildung, der Bezeichner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ja schon vergeben) richtig gezeigt.

06.01.2018, 15:40

Melanie233

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Zitat:

Original von NurEinGast

Zu (*):
Wenn dir nicht klar ist, dass das Bild einer linearen Abbildung ein Untervektorraum ist, kannst du es gerne noch einmal zeigen und ich werde es mir anschauen. Das erste Axiom hast du jedenfalls (bis auf den Index der Abbildung, der Bezeichner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist ja schon vergeben) richtig gezeigt.

Ok das haben wir in der Vorlesung gehabt. Das habe ich auch jetzt verstanden.

Ok dann ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \subset ker f_i \end{eqnarray*}$

Muss ich dann die Def. von einem Komplex benutzen?

06.01.2018, 15:42

NurEinGast

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Genau.

smile

(Du musst es auch mal so sehen: Viel mehr als die Definition eines Komplexes wirst du über Komplexe noch nicht wissen. So viel kann man dann also nicht benutzen. smile

smile

)

06.01.2018, 15:48

Melanie233

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Aber wie soll ich die Def. anwenden. Ich sehe es noch nicht? verwirrt

verwirrt

06.01.2018, 15:50

NurEinGast

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Was heißt denn $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \subset ker f_i \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2018, 15:52

NurEinGast

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Oder wie kann man die Definition des Komplexes noch schreiben? Es gilt ja $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$ .

06.01.2018, 15:54

Melanie233

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Vllt $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} = ker f_i \end{eqnarray*}$ .

Ne kann egtl nicht sein.

06.01.2018, 15:55

NurEinGast

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Was steht denn bei deiner Gleichung links, und was rechts? verwirrt

verwirrt

Wenn einem nichts einfällt, muss man die Sachen, die man gegeben hat, nur mal ordnen und sauber aufschreiben, was sie bedeuten. So viele Möglichkeiten hat man ja nicht.

06.01.2018, 15:58

Melanie233

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Links steht doch die Komposition von linearen Abbildungen, diese bilden dann rechts auf 0 ab?

06.01.2018, 16:00

NurEinGast

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Ist denn $\begin{eqnarray*} ker f_{i+1} \end{eqnarray*}$ auch eine Abbildung? Darf man da also $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ zwischen linker und rechter Seite schreiben?

Wir driften ab. Schreibe mal sauber auf, was $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$ bedeutet.

06.01.2018, 16:03

Melanie233

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ker f_i ist eine Menge, also darf ich nicht = schreiben.

Also es bedeutet, dass die Komposition zweier aufeinanderfolgender Abbildung auf 0 abbildet.

Heißt das nicht, dasss die Komposition im Kern enthalten sein muss?

06.01.2018, 16:06

NurEinGast

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Nein, du hast das ja richtig begründet. Eine Abbildung kann ja nicht gleich einem Kern sein.

Schreibe mal sauber die Definitionen auf von

a) $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ ,
b) $\begin{eqnarray*} ker f_i \end{eqnarray*}$ ,
c) $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$ (was bedeutet es, dass zwei Abbildungen gleich sind? Links steht $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$ , rechts die Nullabbildung.)

06.01.2018, 16:15

Melanie233

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a) $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} = \{v\in V_i : \exists w \in V_{i-1} : f_{i+1}(w)=v \} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} ker f_i= \{v\in V_i: f_i(v)=0\} \end{eqnarray*}$ ,
c) $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$ (was bedeutet es, dass zwei Abbildungen gleich sind? Links steht $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$ , rechts die Nullabbildung.)

Mit der Gleichheit weis ich es leider nicht unglücklich

unglücklich

06.01.2018, 16:27

NurEinGast

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Bei a) ist ein Index nicht ganz korrekt.

Es fehlt c), quasi das Wichtigste. Wann sind denn zwei Abbildungen gleich? Sind die Abbildungen $\begin{eqnarray*} f, g \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(x) := x, g(x) := x^2 \end{eqnarray*}$ gleich? Wieso (nicht)?
Schreibe auf, was es bedeutet, dass die Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gleich sind.

Anmerkung:
Mir scheint es, als hättest du grundlegende Probleme mit den Begrifflichkeiten. Das ist nicht böse gemeint, aber natürlich vermehren sich die Probleme, wenn man noch Schwierigkeiten mit "alten Sachen" hat. Ich kann voll und ganz verstehen, dass man Probleme mit Quotientenräumen hat, denn diese sind nicht so ganz einfach zu verstehen; allerdings sollten im Umgang mit diesen zumindest die grundlegenden Begriffe sitzen (Bild, Kern, Abbildungen). Sonst hängt man sich viel zu sehr an Kleinigkeiten auf, und verliert den Blick auf das Wesentliche. Das ist denk ich das Hauptproblem bei dir: Du hängst dich viel zu sehr an unwichtigen Sachen auf und ich habe manchmal das Gefühl, dass du fast "rätst" wie es weitergehen könnte.

Das ist uns hier jetzt schon öfter passiert und wir hätten uns vieles sparen können:

1) $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ ist definiert, falls $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist: Die Diskussion darüber war hier nicht wirklich nötig, man muss hier rein gar nichts mit Restklassen rechnen. (Dass du es zu deinem Verständnis wiederholt hast, ist aber ok.)

2) Dass das Bild einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Zielraums ist, war bekannt, du hattest es aber vergessen.

3) Es muss einfach klar sein, wann zwei Abbildungen gleich sind.

06.01.2018, 16:37

Melanie233

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Du hast Recht, dass ich Probleme mit den Begrifflichkeiten habe. Das tut mir leid unglücklich

unglücklich

Also 2 Abbildungen sind gleich, wenn der Definitions-bzw Wertebereich sowie die Zuordnungsvorschrift übereinstimmen.

06.01.2018, 16:44

NurEinGast

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Zitat:

Original von Melanie233
Du hast Recht, dass ich Probleme mit den Begrifflichkeiten habe. Das tut mir leid unglücklich

unglücklich

Das braucht dir nicht leid tun, im Gegenteil. Ich sage dir nur, dass es langfristig zu größeren Problemen kommen wird. Du arbeitest ja daran!

Zitat:

Original von Melanie233 (verändert)
Also 2 Abbildungen sind gleich, wenn der Definitions-und Wertebereich sowie die Zuordnungsvorschriften übereinstimmen.

So würde ich das besser schreiben. Schreib mal Definitions- und Wertebereiche von $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$ auf. Mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist hier dann die Nullabbildung mit dem gleichen Definitions- und Wertebereich gemeint. Und dann schreibe auf, was bedeutet, dass (Zitat von dir) "die Zuordnungsvorschrift[en] übereinstimmen".

06.01.2018, 16:51

Melanie233

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$\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$

Also Definitionsbereich ist 0, der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} V_{n-1} \end{eqnarray*}$

Die Zuordnungsvorschrift heißt dann, dass $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$ und die 0 auf 0 abbilden.

06.01.2018, 16:54

NurEinGast

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Nein, denn $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist hier beliebig und nicht unbedingt gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Und bei der Zuordnungsvorschrift musst du präzise sein! Sind dann die Beispielabbildungen von weiter oben, $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (f,g \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) auch gleich, weil $\begin{eqnarray*} f(1) = g(1) = 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. "sie bilden auf die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ab"?

06.01.2018, 17:01

Melanie233

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Es muss doch $\begin{eqnarray*} x \rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \rightarrow g(x) \end{eqnarray*}$ gleich sein

06.01.2018, 17:03

NurEinGast

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Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? (*)

Wenn du (*) hast, dann bleibt noch übrig zu tun:

i) Was sind jetzt Definitions- und Wertebereich von $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \end{eqnarray*}$ ?
ii) Was bedeutet $\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$ jetzt wirklich? (Hier hilft (*) dann.)

06.01.2018, 17:18

Melanie233

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Für die x aus dem Definitionsbereich.

Der Defintionsbereich ist $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ .
Der Wertebereich $\begin{eqnarray*} V_{i-2} \end{eqnarray*}$

06.01.2018, 17:23

NurEinGast

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Zitat:

Original von Melanie233 (geändert)
Für alle x aus dem Definitionsbereich.

Der Defintionsbereich ist $\begin{eqnarray*} V_{i+1} \end{eqnarray*}$ .
Der Wertebereich $\begin{eqnarray*} V_{i-1} \end{eqnarray*}$

So stimmt es. (Für $\begin{eqnarray*} i = n \end{eqnarray*}$ setzt man $\begin{eqnarray*} V_{i+1} = V_{n+1} \end{eqnarray*}$ := 0 und für $\begin{eqnarray*} i = -1 \end{eqnarray*}$ setzt man $\begin{eqnarray*} V_i = V_{-1} := 0 \end{eqnarray*}$ , damit alles zusammenpasst.

Das heißt, wir haben jetzt zwei Abbildungen:

$\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \colon V_{i+1} \to V_{i-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \colon V_{i+1} \to V_{i-1} \end{eqnarray*}$

Wann sind diese jetzt gleich? Bitte ganz präzise aufschreiben, mit allen nötigen Quantoren und nicht in Wischwaschi-Prosa.

06.01.2018, 17:34

Melanie233

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$\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \colon V_{i+1} \to V_{i-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \colon V_{i+1} \to V_{i-1} \end{eqnarray*}$

Die beiden Abbildungen sind gleich, denn der Definitions-bzw Wertebereich stimmen überein.
Es muss dann auch gelten, dass $\begin{eqnarray*} (f_i \circ f_{i+1})(v) = 0(v) \forall v \in V_{i+1} \end{eqnarray*}$

06.01.2018, 17:42

NurEinGast

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Zitat:

Original von Melanie233 (geändert)
$\begin{eqnarray*} f_i \circ f_{i+1} \colon V_{i+1} \to V_{i-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \colon V_{i+1} \to V_{i-1} \end{eqnarray*}$

Die beiden Abbildungen sind gleich, denn der Definitions-bzw Wertebereich stimmen überein, und:
Es gilt, dass $\begin{eqnarray*} (f_i \circ f_{i+1})(v) = 0(v) \forall v \in V_{i+1} \end{eqnarray*}$

Ok. Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} \forall v \in V_{i+1} \colon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \; \;0(v) = 0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} (f_i \circ f_{i+1})(v) = f_i(f_{i+1}(v)) \end{eqnarray*}$ definitionsgemäß.

Das heißt wir haben jetzt:

$\begin{eqnarray*} \forall v \in V_{i+1} \colon \; \; f_i(f_{i+1}(v)) = 0. \end{eqnarray*}$

Kannst du das Ganze mit meinem Beitrag von 16:06 in Verbindung bringen, wo ich dich gebeten habe, die Definitionen von $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} ker f_i \end{eqnarray*}$ aufzuschreiben?

06.01.2018, 17:50

Melanie233

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D.h doch dass dann $\begin{eqnarray*} im f_{i+1} \subset ker f_i, \end{eqnarray*}$

06.01.2018, 17:54

NurEinGast

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Zitat:

Original von Melanie233
D.h doch dass dann i $\begin{eqnarray*} m f_{i+1} \subset ker f_i, \end{eqnarray*}$

Genau!

Zitat:

Original von Melanie233
denn $\begin{eqnarray*} f_{i+1} \end{eqnarray*}$ wird von $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ auf 0 abgebildet?

Das ist zu schwammig, auch wenn du das richtige meinst. Man könnte es in etwa so schreiben:

..., denn alle Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} f_{i+1}(v) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \in V_{i+1} \end{eqnarray*}$ werden von $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet.

06.01.2018, 17:56

Melanie233

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Gut jetzt habe ich es verstanden smile

smile

Freude

Auch wenn ich noch viel an den Begrifflichkeiten arbeiten muss; danke dir für deine Geduld und Hilfe smile

smile

Freude

Ich habe dann vllt doch noch eine Frage:
$\begin{eqnarray*} X:=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^i dim H_i(V) \end{eqnarray*}$

Gilt dann auch $\begin{eqnarray*} X=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^i dim V_i \end{eqnarray*}$

06.01.2018, 18:03

NurEinGast

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Kein Problem. Ich vermute, dass du im ersten Semester studierst und das eine Aufgabe deiner Linearen Algebra I Vorlesung ist?

Verstehst du: Wenn du ein Ikea Regal zusammenbauen willst für das du eine Bauanleitung hast, aber nicht in der Lage bist, ein Loch zu bohren, dann gestaltet sich das als schwierig. Genau so ist das in der Mathematik: Wenn du eine Beweisidee hast, aber nicht in der Lage dazu bist, die einzelnen Schritte auszuführen, dann gestaltet sich der Beweis als schwierig. Das Schwierige an so einer Aufgabe sollte ja eigentlich sein, auf die Idee selbst zu kommen. Die Idee (Bauanleitung) habe ich dir hier geliefert, ausführen (zusammenschrauben) musst du die einzelnen Teile selbst.

06.01.2018, 18:07

Melanie233

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Ja ich bin im 1.Semester und es ist lineare Algebra 1. Ich muss da noch viel besser werden verwirrt

verwirrt

unglücklich

smile

06.01.2018, 18:08

NurEinGast

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Zitat:

Original von Melanie233
Ich habe dann vllt doch noch eine Frage:
$\begin{eqnarray*} X:=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^i dim H_i(V) \end{eqnarray*}$

Gilt dann auch $\begin{eqnarray*} X=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^i dim V_i \end{eqnarray*}$

Erst einmal würde ich voraussetzen, dass alle vorkommenden Vektorräume endlichdimensional sind, damit die Gleichheiten Sinn ergeben.

Für Quotientenräume gilt dann $\begin{eqnarray*} \dim(W/U) = \dim(W) - \dim(U) \end{eqnarray*}$ . Das, den Rangsatz und $\begin{eqnarray*} \dim(0) = 0 \end{eqnarray*}$ muss man hier benutzen, um $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auszurechnen.

Rangsatz:
Sei $\begin{eqnarray*} f \colon V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(ker(f)) + \dim(im(f)) \end{eqnarray*}$ .

06.01.2018, 18:21

Melanie233

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Ok und wie kann ich es jetzt genau berechnen?

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