Konvergenz von der Reihe ln(1+1/n)

06.01.2018, 18:53

Mario2000

Konvergenz von der Reihe ln(1+1/n)

Meine Frage:
Hallo,

Ich brauche hilfe bei der Untersuchung der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}ln(1+1/n) \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz.

Vielen Dank für die Unterstützung im Vorraus.

Meine Ideen:
Ich vermute das Sie divergiert. Die Reihe weist Ähnlichkeiten mit 1/n auf.

EDIT: Latex-Tags ergänzt. (klarsoweit)

06.01.2018, 19:26

Leopold

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Bringe das Argument das Logarithmus auf Bruchgestalt und wende ein Logarithmusgesetz an. Betrachte dann die Partialsummen der Reihe. Das sieht doch sehr nach einer Teleskopsumme aus.
Der Gedanke $\begin{align*} \ln(1+x) \approx x \end{align*}$ für $\begin{align*} x \approx 0 \end{align*}$ ist aber auch nicht schlecht. Was heißt das für $\begin{align*} x = \frac{1}{n} \end{align*}$ mit großem $\begin{align*} n \end{align*}$ ? Und könnte man die heuristische Argumentation hieb- und stichfest machen?

06.01.2018, 21:43

Mario2000

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Vielen Dank, werde ich ausprobieren.
n geht gegen unendlich

07.01.2018, 10:40

Mario2000

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Umformen von Ln
ln(1+1/n)=ln((n+1)/n)= ln(n+1)-ln(n)
Teleskopreihe
(ln(n+1)-ln(n))= (ln2-ln1)+(ln3-ln2)+...+(ln(n+1)-ln(n))
="Summe von 1 gegen unendlich" ln(n)-ln(1)=+unendlich
, weil ln1=0 und lim n gegen unendlich ln(n)=unendlich

Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob ich die Reihe so verschieben darf oder ob ich gegen den Umordnungssatz von Reihen verstosse. Ich darf die Reihenfolge der Glieder umordnen wenn Sie nicht negativ sind. Meine Glieder sind alle in der (ln(n+1)-ln(n)) positiv.
Bloss damit ich sie addieren kann muss ich Sie Auftrenne in Ln(n+1) -ln(n) und ich habe negative Glieder. Ist die Teleskopreihe eine "Ausnahme", weil klar ersichtlich ist das alle Glieder bis zum n-ten Glied berücksichtig wurden?

Ich habe gerade rausgefunden, wie ich hier die Symbole darstellen muss:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ln(1+1/n)[latex]

07.01.2018, 10:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mario2000
Ich habe gerade rausgefunden, wie ich hier die Symbole darstellen muss:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{n} \end{eqnarray*}$ ln(1+1/n)

Besser so: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n ln(1+ \frac 1 k) \end{eqnarray*}$

Du kannst nun $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{k=1}^n ln(1+ \frac 1 k) \end{eqnarray*}$ wie schon oben beschrieben umformen und die Teleskopeigenschaft nützen, um den Wert der Partialsumme S_n zu bestimmen. smile

07.01.2018, 13:44

Mario2000

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Okay, vielen Dank.
Ich habe jetzt verstanden. Freude

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