Residuen bestimmen

07.01.2018, 15:30	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuen bestimmen Guten Tag zusammen, sei die Funktion $\begin{align} f(z)=\frac{1}{e^z-1} \end{align}$ gegeben. Die Aufgabe lautet nun alle Singularitäten von $\begin{align} f \end{align}$ zu bestimmen und ihre Residuen auszurechnen. Die Singularitäten sind gegeben durch $\begin{align} z_k=2\pi i k \end{align}$ , wobei $\begin{align} k\in\mathbb{N} \end{align}$ . Nun muss ich also $\begin{align} {\rm{Res}}(f,2\pi i k) \end{align}$ bestimmen. Meine erste Idee war hier die Entwicklung von $\begin{align} f \end{align}$ in eine Laurentreihe, was um den Nullpunkt dank der Bernoulli-Zahlen auch recht einfach geht. Nun muss ich das Ganze aber um $\begin{align} 2\pi i k \end{align}$ entwickeln, was leider nicht funktionieren will... Wir haben auch ein paar Formeln für die Berechnung von Residuen hergeleitet, leider sehe ich hier auch nicht wirklich eine direkte Anwendung von diesen... Ich hoffe jemand kann etwas nachhelfen. Gruss Sito
07.01.2018, 15:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuen bestimmen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist doch $\begin{eqnarray} 2\pi i k \end{eqnarray}$ periodisch, also $\begin{eqnarray} f(z + 2\pi ik) = f(z) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . D.h. es ist die gleiche Reihe, bloss verschoben.
07.01.2018, 16:01	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuen bestimmen Ich verstehe zwar was du meinst, bin mir aber nicht sicher ob ich das richtig umsetze... $\begin{align} f(z)=\frac{1}{e^{z}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k}{k!}z^{k-1}=\frac{1}{z}-\frac 1 2 +\frac{z}{12}+\dots=\frac{1}{z-2\pi i k}-\frac 1 2 +\frac{z-2\pi i k}{12}+\dots \end{align}$ Somit wären also alle Residuen gleich 1?
07.01.2018, 16:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuen bestimmen Bei den Gleichheitszeichen wäre ich vorsichtig. Es ist a priori unklar, auf welchen Gebieten die unterschiedlichen Reihen konvergieren. Im schlimmsten Fall gibt es kein gemeinsames $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Z.B. die erste Entwicklung stimmt offenbar nicht wenn $\begin{eqnarray} z = 2\pi ik \end{eqnarray}$ ist mit der Funktion überein. Die zweite nicht bei der 0 etc.
07.01.2018, 16:46	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuen bestimmen Danke für den Hinweis! Eine kurze Frage hätte ich dann aber noch (weitere Teilaufgabe). Man soll nun den "grössten" Kreisring um $\begin{align} 0 \end{align}$ finden, der den Punkt $\begin{align} 10\in\mathbb{C} \end{align}$ enthält und auf dem $\begin{align} f \end{align}$ durch eine Laurentreihe dargestellt werden kann. Es geht hier um den Konvergenzradius des Nebenteils der Laurentreihe, oder? Dieser gibt doch eine Grenze des Kreisrings an... Ich verstehe hier aber nicht so recht was das nun explizit mit dem $\begin{align} 10\in\mathbb{C} \end{align}$ genau zu tun hat...
07.01.2018, 17:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Residuen bestimmen Die Laurantreihe muss erst einmal nicht viel mit der Funktion zu tun haben. Auch wenn die Reihe konvergiert. Wieder zurück zu deinem Beispiel. Deine erste Entwicklung um die 0 konvergiert für alle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , bis auf $\begin{eqnarray} z= 0 \end{eqnarray}$ . Aber offenbar stellt sie die Funktion im Punkt $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ nicht dar, denn dort hat $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Singularität. Die Frage ist nun: Wenn es um $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ nicht überstimmt, warum sollte es dann für $\begin{eqnarray} 10 \end{eqnarray}$ stimmen? D.h. die Singularitäten grenzen extrem ein wie groß der Kreisring gewählt werden kann. Ich weiß bloss nicht wie man argumentiert, dass dass man den größten Kreisring gefunden hat. Um genauer zu sein, bin ich nicht mit der Theorie verwandt und bin mir nicht einmal sicher wie man argumentiert, dass überhaupt ein solcher Kreisring existiert.
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