Extremwertberechnung durch Quadratische Ergänzung

07.01.2018, 17:42

Bernd.S

Extremwertberechnung durch Quadratische Ergänzung

Meine Frage:
Hallo,

meine Tochter zeigt mir gerade auf, was ich früher mal konnte und wo ich jetzt blank bin. :-) Aktuell haben sie in der 8. Klasse Realschule Extremwertberechnung durch quadratische Ergänzung.

Leider blicke ich nicht wie ich folgenden Term erweitern muss, damit das klappt.

T(x) = -3 + 7x^2

Meine Ideen:
Ich vermute mal ich kann das auch als T(x) = +7^2 -3 darstellen. Aber dann hört es auf.

07.01.2018, 18:07

sixty-four

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Bei dieser Aufgabe brauchst du keine Ergänzung um zu sehen, wo das optimale x liegt. Da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ seinen kleinsten Wert für x=0 annimmt ist auch der Funktionswert dort minimal. Anders sieht es aus, wenn das x auch linear vorkommt.

07.01.2018, 18:10

klarsoweit

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RE: Extremwertberechnung durch Quadratische Ergänzung

Zitat:

Original von Bernd.S
Ich vermute mal ich kann das auch als T(x) = +7^2 -3 darstellen.

Nun ja, eher wohl $\begin{eqnarray*} T(x) = 7x^2 -3 \end{eqnarray*}$ . Wenn man das mal so schreibt: $\begin{eqnarray*} T(x) = 7(x - 0)^2 -3 \end{eqnarray*}$ , dann hast du schon die Scheitelpunktform. Und der Scheitelpunkt ist bei einem quadratischen Polynom der einzige Extrempunkt. smile

EDIT: zu spät. Augenzwinkern

07.01.2018, 18:44

sixty-four

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Ich gebe dir noch ein Beispiel für einen anderen Fall:

$\begin{eqnarray*} T(x) = 7x^2-12x+3 \end{eqnarray*}$ kannst du schreiben als:

$\begin{eqnarray*} T(x) = 7(x^2-\frac{12}{7}x+\frac37) \end{eqnarray*}$

Nach der binomischen Formel gilt: $\begin{eqnarray*} (x-a)^2 = x^2-2ax+a^2 \end{eqnarray*}$
Das vergleichst du jetzt mit dem, was in der Klammer steht. Es muss dann sein:

$\begin{eqnarray*} 2a=\frac{12}{7} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a=\frac67 \end{eqnarray*}$ .
Damit schreibst du:

$\begin{eqnarray*} T(x) = 7( x^2-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}-\frac{36}{49} +\frac37) \end{eqnarray*}$

weiter:

$\begin{eqnarray*} T(x)=7( x-\frac67)^2+c \end{eqnarray*}$ , wobei du c nicht mehr ausrechnen musst, denn der Ausdruck in Klammern nimmt seinen kleinsten Wert an, wenn $\begin{eqnarray*} x= \frac67 \end{eqnarray*}$ ist. Daher ist dort der Funktionswert minimal.

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