Rekursive Folge a1=1; a(n+1)=a(n+2)^(1/2)

07.01.2018, 18:49

Mario2000

Rekursive Folge a1=1; a(n+1)=a(n+2)^(1/2)

Meine Frage:
Ich habe die rekursive Folge
a1=1
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{a_n+2} \end{eqnarray*}$

Zu Zeigen:
Die Folge ist 1)monoton wachsend, 2)Konvergenz und 3)Grenzwert.

Meine Ideen:
Ich glaube mein Hauptproblem ist das ich keine explizite Form der Folge hinbekomme.
1) Die Folge wird nie über 2 gehen, weil, wenn an=2 wäre, dann ist (2+2)^½=2.
Für jeden Wert von [1,2) ist a_n+1<2, doch grösser als an.
Das sauber Mathematisch zu beweisen bekomme ich nicht hin.
2)Eine Folge konvergiert, wenn Sie monoton wachsend(bewiesen sobald ich 1 beweisen kann. und begrenzt ist.
3)Ich schätze das der Grenzwert von der Folge 2 ist, bloss das beweisen Fehlt mir schwer. Wenn ich eine explizite Form hätte würde ich das Konvergenz Kriterium anwenden.

Irgendwie drehe ich mich im Kreis. Mich überfordert das an Teil der Wurzel ist.

07.01.2018, 21:40

Leopold

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Man kann das als Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes ansehen. Dazu nimmt man das Intervall $\begin{align*} I = [1,2] \end{align*}$ und stellt fest, daß

$\begin{align*} \varphi: I \to I \, , \ \ \varphi(x) = \sqrt{x+2} \end{align*}$

eine kontrahierende Selbstabbildung von $\begin{align*} I \end{align*}$ ist (denn $\begin{align*} \left| \varphi'(x) \right| \leq \frac{1}{\sqrt{3}} < 1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \in I \end{align*}$ ).

Aber man kann auch elementar herangehen. Du bist da auf dem richtigen Weg. Und eine explizite Darstellung ist gar nicht nötig. Man kann alles aus der rekursiven Vorschrift herausholen. Und die Beweisantwort auf die Rekursion ist die vollständige Induktion.

Halten wir zunächst fest, daß man der Rekursionvorschrift ansieht, daß alle Folgenglieder positiv sind. In den folgenden Beweisen wird man das immer wieder brauchen. Zeige dann:

(1) $\begin{align*} a_n \leq 2 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$

Das geht sehr einfach per Induktion. Natürlich brauchst du die Rekursionsvorschrift dabei.

(2) $\begin{align*} \left( a_n \right) \end{align*}$ ist streng monoton wachsend.

Das kann man zeigen, indem man $\begin{align*} a_{n+1} > a_n \end{align*}$ so lange äquivalent umformt, bis man (1) erhält. Beginne, links die Rekursionvorschrift einzusetzen, beseitige die Wurzeln und beachte, daß man den quadratischen Term $\begin{align*} t^2 - t - 2 \end{align*}$ in einfacher Weise faktorisieren kann.

Als streng monoton wachsende nach oben beschränkte Folge besitzt diese einen Grenzwert $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ . Laß in der Rekursionvorschrift $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gehen und berechne $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ aus der Gleichung.

09.01.2018, 13:18

Mario2000

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Vielen Dank für die Antwort.

Ich habe den Induktionsbeweis mit an kleiner 2 gemacht, so konnte ich ein Problem im 2 Teil umgehen.

1) Induktionsaussage
Für alle n gilt:

 nicht beachten(ich weiss nicht was schief lief)

$\begin{eqnarray*} a_n<2 \end{eqnarray*}$
Wobei
$\begin{eqnarray*} a_1=1\\a_{n+1}=\sqrt{a_n+2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang
n=2

$\begin{eqnarray*} a_2=\sqrt{1+2}=\sqrt3< \end{eqnarray*}$ erfüllt

Induktionsvoraussetzung
Analog Induktionsaussage

Induktionsbehauptung

$\begin{eqnarray*} a_n<2 \Rightarrow a_{n+1}<2 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} \mbox{F\"ur }a_{n+1}=\sqrt{a_n +2}\mbox{gilt gemäss IV an ist kleiner 2 somit ist }a_{n+1}\mbox{ kleiner}\sqrt{4}\mbox{ und somit kleiner 2} \end{eqnarray*}$ .
Somit ist mit Induktionbewiesen das alle an kleiner als 2 sind und 2 eine obere Schranke der Folge ist.[/latex]

2) Beweis streng monoton

Parameter t nimmt Werte zwischen [1;2).
Da ich beweise das die Folge streng monoton ist wähle ich 1 den Startwert als untere Folge und 2 als obere Grenze aus der Induktion.

$\begin{eqnarray*} 0>(t+1)(t-2) \\ 0>t^2-t-2\\ t+2>t^2 \\ \sqrt{t+2}>t\\ \mbox{Einsetzen }t=a_n \\ \sqrt{a_{n} +2}>a_n \\ a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$

Somit ist die Folge streng monoton wachsend.

Gemäss Definition konvergiert eine Folge, wenn sie (streng) monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.

3) Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_n+2}=2 \end{eqnarray*}$

Ist das alles beim Grenzwert?

09.01.2018, 13:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mario2000
Gemäss Definition konvergiert eine Folge, wenn sie (streng) monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.

Na vielleicht nicht "gemäß Definition", aber es ist richtig, dass diese Aussage gilt.

Allerdings ist damit noch nicht klar, gegen welchen Wert die Folge konvergiert. Du sagst, es ist 2, aber das musst du auch noch begründen, denn das hier

Zitat:

Original von Mario2000
3) Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_n+2}=2 \end{eqnarray*}$

scheint nur vom Himmel zu fallen.

09.01.2018, 15:12

Mario2000

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Der Grenzwert ist 2, weil für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [1,2) $\begin{eqnarray*} \mbox{gilt }x<\sqrt{x+2}, \mbox{somit }\nexists \mbox{x a}_n\leq\mbox{x somit gibt es keine kleinere Obere Schranke als 2} \end{eqnarray*}$ .
Da 2 gemäss der Induktion eine obere Schranke ist und es gemäss dem vorhergende Beweis keine kleinere Schranke gibt, ist 2 die kleinste oberschranke und somit, das Supremum und der Grenzwert der Folge.

Ist das okay?

Ein grossen Dank für die Unterstützung. smile

09.01.2018, 15:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mario2000
und es gemäss dem vorhergende Beweis keine kleinere Schranke gibt

Von welchem Beweis redest du da? verwirrt

Oder anders formuliert: Wo genau beweist du, dass es es für jedes $\begin{align*} C<2 \end{align*}$ einen Folgenwert $\begin{align*} a_n>C \end{align*}$ gibt?

--------------------------------

Folgende Begründung halte ich für einsichtiger: Aus der Iterationsgleichung $\begin{align*} a_{n+1} = \sqrt{a_n+2} \end{align*}$ folgt durch Grenzwertbildung

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n+2}\qquad (*) \end{align*}$ ,

sofern der Grenzwert existiert - und das wissen wir ja jetzt! Der Wert $\begin{align*} a:= \lim_{n\to\infty} a_n \end{align*}$ muss also gemäß (*) und unter Nutzung der Stetigkeit der Wurzelfunktion die Gleichung $\begin{align*} a = \sqrt{a+2} \end{align*}$ erfüllen, und das tut nur $\begin{align*} a=2 \end{align*}$ .

09.01.2018, 17:50

Mario2000

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Danke, jetzt ist es klar.

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