Orthogonale Polynome

07.01.2018, 19:48	qwertze	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Polynome Hallo Leute, ich habe mal eine grundsätzliche Verständnis-Frage zu orthogonalen Polynomen: Was ist der Grund für die Konstruktion dieser Räume, also was ist der Vorteil, dass die den Raum aufspannenden Polynome (wie z.B. Gauss-Legendre, Tschebyscheff, Hermite, ...) orthogonal zueinander sind? Oder anders: Warum macht man das so? Man bräuchte die Orthogonalitätsforderung doch theoretisch nicht? Vielleicht kann das jemand von euch motivieren? Vielen Dank im Voraus! lg
07.01.2018, 22:44	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, nehmen wir doch vielleicht als Beispiel mal die Tschebyscheff-Polynome $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ auf [-1,1], die bzgl. des Skalarprodukts $\begin{eqnarray} \langle f,g \rangle := \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \end{eqnarray}$ orthogonal aufeinander stehen. Nun wollen wir irgendeine beliebige Funktion, sagen wir mal f(x)=exp(x), in Tschebyscheff-Polynome entwickeln. Also schreiben wir uns den Ansatz hin und bilden anschließend naheliegenderweise auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit T_m (um Konvergenzfragen kümmern wir uns später): $\begin{eqnarray} \exp(x)\stackrel{!}=\sum_{n=0}^\infty a_nT_n,\,a_n\in\mathbb R\qquad\qquad\vert\langle\,.,T_m\rangle \end{eqnarray}$ . Und jetzt kommt die Orthogonalität ins Spiel: Auf der rechten Seite fällt alles weg außer $\begin{eqnarray} a_m\langle T_m,T_m\rangle \end{eqnarray}$ . Nach Division durch $\begin{eqnarray} \langle T_m,T_m\rangle \end{eqnarray}$ kann man dann a_m herausbekommen, indem man das Integral auf der linken Seite auswertet (was in meinem Beispiel evtl. nur numerisch möglich ist, da gibt es vielleicht noch bessere). Dann hat man die Koeffizienten a_m, kann die Reihe hinschreiben und versuchen zu zeigen, dass sie konvergiert und zwar gegen f, und nachschauen, wie gut die Konvergenz ist (also wie schnell der Fehler klein wird). Man könnte solche Entwicklungen bzgl. orthogonaler Polynome benutzen, um Funktionen zu approximieren. Je nach Funktion und (passend gewähltem) System orthogonaler Polynome erhält man eine bessere Konvergenz als z.B. bei der einfachen Potenzreihe. Auch bei partiellen Differentialgleichungen werden orthogonale Funktionen, teils auch orthogonale Polynome benutzt, um zB Randwertprobleme zu lösen. LG sibelius84
08.01.2018, 00:48	qwertze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Sibelius, danke für die Antwort, das hilft mir schon mal weiter, also liegt es wie so oft an einfacherer Darstellung bzw. Berechnung von Koeffizienten und besseren Konvergenzeigenschaften bei der Approximation. lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »