Gleichmäßige Stetigkeit zeigen bzw. widerlegen

08.01.2018, 15:57

Snexx_Math

Gleichmäßige Stetigkeit zeigen bzw. widerlegen

Hallo zusammen ,

bei folgender Aufgabe benötige ich dringend Hilfe:

$\begin{eqnarray*} f:[0, \infty [ \rightarrow \mathbb R , f(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass f stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist:

zu stetig:
z.z. : $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Es gelte:
$\begin{eqnarray*} \forall (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in [0 , \infty[ \ \forall n \in \mathbb N \wedge \lim_{n \to \infty } x_n = x_0 \end{eqnarray*}$ Dann folgt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_n) = \lim_{n \to \infty } x_n^{2} = \lim_{n \to \infty } x_n \cdot \lim_{n \to \infty } x_n = x_0 \cdot x_0 = x_0^{2} = f(x_0) \end{eqnarray*}$

zu gleichmäßig stetig, stehe ich jetzt aber gewaltig auf dem Schlauch, musste noch nie beweisen , dass etwas nicht gleichmäßig stetig ist.

Mein Ansatz wäre jetzt die gleichm. Stetigkeit zu widerlegen, indem ich das $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta - \end{eqnarray*}$ Kriterium negiere und dann damit arbeite. Also:

$\begin{eqnarray*} \neg (\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \ \forall x,x_0 \in [0, \infty [ \ mit |x-x_0|< \delta : |f(x) - f(x_0)| < \epsilon) \Leftrightarrow \exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x,x_0 \in [0, \infty [ \ mit \ |x-x_0|< \delta : |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Mein Anfang, dann:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = ... \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} x= ... \wedge x_0 = ... \end{eqnarray*}$
Aber wie gehe ich jetzt vor ???

08.01.2018, 16:11

HAL 9000

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Hast du denn eine ungefähre Ahnung, warum bzw. wo das mit der gleichmäßigen Stetigkeit hier schiefgeht?

Antwort: Weil das Definitionsintervall hier unbeschränkt ist, d.h., $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ macht hier den Ärger.

Entsprechend wird man auch ein Beispiel wählen für

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x,x_0 \in [0, \infty [ \ mit \ |x-x_0|< \delta : |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

Wir müssen nur irgendein solches $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ finden, nehmen wir doch $\begin{align*} \epsilon=1 \end{align*}$ .

Wählen wir jetzt schlicht $\begin{align*} x=x_0+\frac{\delta}{2} \end{align*}$ bei zunächst variablen $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} |x-x_0|< \delta \end{align*}$ erfüllt. Wir rechnen aus $\begin{align*} \left| f(x)-f(x_0)\right| = x_0\delta + \frac{\delta^2}{4} > x_0\delta \end{align*}$ . Und nun sehen wir, dass für $\begin{align*} x_0=\frac{1}{\delta} \end{align*}$ das Ziel $\begin{align*} |f(x) - f(x_0)| \geq 1 = \epsilon \end{align*}$ erreicht wurde - das war's.

Oder in Kurzform: Für $\begin{align*} \epsilon=1 \end{align*}$ genügt bei beliebigem $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ die Wahl von $\begin{align*} x_0=\frac{1}{\delta},x=\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2} \end{align*}$ .

08.01.2018, 16:26

Snexx_Math

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ok , das sieht sehr plausibel aus.

Nur eine Frage noch:

Man wählt ja $\begin{eqnarray*} x= x_0 + \frac{\delta }{2} \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ garantiert ist. Oder ?

08.01.2018, 16:32

HAL 9000

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Ja, Hauptsache Abstand $\begin{align*} <\delta \end{align*}$ .

$\begin{align*} x = x_0+\delta \end{align*}$ geht geradeso nicht, weil das nicht $\begin{align*} <\delta \end{align*}$ erfüllt.

08.01.2018, 16:36

Snexx_Math

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Ok dann bedanke ich mich rechtherzlich smile

Sowohl hier als auch in den anderen Beiträgen extrem weitergeholfen smile

DANKE !!!

LG

Snexx_Math

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