Totales Differential - Quotientenregel

08.01.2018, 22:10

FHler

Totales Differential - Quotientenregel

Hallo, ich soll mit dem totalen Differential der vorliegenden Funktion näherungsweise bestimmen, wie viel sich der Funktionswert ändert, wenn x von 10 auf 10,5 und y von 2 auf 2,1 erhöht wird.

Berechnung des totalen Differentials mit Hilfe der Quotientenregel
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2}{y+1} \end{eqnarray*}$

u=x^2
u'x =2x und u'y=0
v=y^2+1
v'x=0 und v'y=2y

Nun habe ich jeweils erst einmal die partiellen Ableitungen bebildet:
$\begin{eqnarray*} f'x(x,y)=\frac{2x*(y^2+1)}{(y^2+1)^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'y(x,y)=\frac{2x*(x^2)}{(y^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Diese partiellen Ableitungen habe ich nun addiert:
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\frac{2xy^2+2x+2x*x^2}{(y^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Habe ich das totale Differential überhaupt richtig berechnet und wie gehe ich nun weiter bei der Aufgabe vor?
Subtrahiere ich das totale Differential (y=2 und x=10) vom totalen Differential (y=2,1 und x=10,5) ab?

09.01.2018, 01:56

mYthos

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Was soll die (unnötige) Erweiterung des Bruches bei der Ableitung nach x bedeuten?
Auch so stimmt die Ableitung nach x nicht, du musst den Nenner als konstant betrachten, weil er nur y enthält. Es ist

$\begin{eqnarray*} f_x = \frac{2x}{y+1} \end{eqnarray*}$

Und die Ableitung nach y ist leider auch falsch, ~~es ist~~ EDIT (mY+) $\begin{align*} \cancel{f_y=x^2 \ln (y+1)} \end{align*}$ dabei ist hier der Zähler konstant)

Zum totalen Differential:

Eine ähnliche Aufgabe ist dort: --> https://www.matheboard.de/thread.php?pos...5975#post975975

Oder auch --> Fehlerrechnung (Totales Differential)

mY+

09.01.2018, 10:38

FHler

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Die "Erweiterung" sollte eigentlich die Quotientenregel darstellen".
Ich habe bei der Ausgangsfunktion ein Quadrat vergessen: $\begin{eqnarray*} f_x = \frac{x^2}{y^2+1} \end{eqnarray*}$
Trotzdem würde ich bei der Ableitung nach y nicht verstehen wie du auf den Logarithmus kommst.

Ich rechne dann so:
$\begin{eqnarray*} fy(x,y)=x^2*(y^2+1)^{(-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'y(x,y)=x^2*(y^2+1)^{-2} * 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_x = \frac{2x}{y^2+1} \end{eqnarray*}$

09.01.2018, 10:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von FHler
Trotzdem würde ich bei der Ableitung nach y nicht verstehen wie du auf den Logarithmus kommst.

Ja, da hat mYthos wohl versehentlich integriert statt differenziert. Die richtige $\begin{align*} y \end{align*}$ -Ableitung für deine nunmehr geänderte Funktion ist ist $\begin{align*} f_y = -\frac{2x^2y}{\left(y^2+1\right)^2} \end{align*}$ , d.h. bei dir fehlt das negative Vorzeichen.

09.01.2018, 14:26

mYthos

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Man soll tatsächlich nicht die Nacht zum Tag machen. Um 2 Uhr früh sind einfach nicht mehr alle Nadeln auf der Tanne. Sorry für den Irrtum, danke HAL.

Zitat:

Original von FHler
...
$\begin{eqnarray*} f_x = \frac{2x}{y^2+1} \end{eqnarray*}$

Das stimmt jedoch immer noch nicht. Oder die Angabe ist schon verschrieben, kontrolliere das mal!

EDIT: Ich sehe gerade, dass die Funktion geändert worden ist, dann stimmt es.

mY+

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