Injektivität und Surjektivität einer identischen Abbildung beweisen

09.01.2018, 13:21	Chuky	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität und Surjektivität einer identischen Abbildung beweisen Meine Frage: Hallo Leute, ich sitze verzweifelt vor meinen Mathe Übungen da in 4 Wochen die Prüfung ist und ich leider bisher noch nicht soviel getan habe. Es geht darum zu beweisen das eine identische Abbildung: $\begin{eqnarray} f: M \rightarrow M<br /> x \mapsto x \end{eqnarray}$ Sprich also folgende Vorschrift: $\begin{eqnarray} f(x) = x für alle x \in M \end{eqnarray}$ ich soll nun zeigen das... a) f bijektiv ist b) $\begin{eqnarray} f^{-1} = f \end{eqnarray}$ c) Für jede Abbildung $\begin{eqnarray} $f: M \rightarrow M \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f \circ g = g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \circ f = f \end{eqnarray}$ Ich scheitere leider schon bei a). ein Lösungsansatz habe ich nicht wirklich aber ich versuche meine Kenntnisse in der Ideebox zu beschreiben. Meine Ideen: Ich weiß das für eine bijektive Abbildung, die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv sein muss. Wenn ich mir die Abbildung ansehe würde ich auch sagen das diese das ist, denn für jedes x sollte x heraus kommen d.h das diese Abbildung injektiv ist. Surjektiv ist sie meiner Meinung nach ebenfalls denn die Definitionsmenge und die Zielmenge ist die selbe, somit ist auch die Wertemenge gleich der Zielmenge und alle Elemente der Zielmenge haben ein Urbild. Nur leider ist mir die Idee völlig fern wie ich das Beweise bzw. wie ich den Beweis beginne. Die Aufgaben b) und c) sind mir erstmal auch klar, nur hier hapert es leider auch an der Idee des Beweises.
09.01.2018, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) und b) ist einfache Anwendung der Definitionen (Tipp: Definitionen und Sätze auswendig lernen). Deine verbale Beschreibung für a) trifft den Kern der Sache recht gut. Du darfst nich von einer "Meinung" reden, du musst schlicht die Fakten feststellen, dann ist das ein Beweis. c) Extensionalität von Funktionen beachten, d.h. zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Werte aus dem Definitionsbereich die gleichen Werte im Wertebereich annehmen (das ist ein wichtiges Prinzip der Mengenlehre). c) muss natürlich heißen, dass dies für alle $\begin{eqnarray} g:M\to M \end{eqnarray}$ gilt

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