Teilräume parametrisieren

Neue Frage »

09.01.2018, 15:01	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilräume parametrisieren Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten. Klingt einfach, ist es wahrscheinlich auch, aber mir erschleißt sich nicht ganz, was da von mir erwartet wird... Parametrisieren sie die Teilräume von $\begin{eqnarray} K ^{n\times n} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Bisher habe ich nur herausgefunden, wie viele Teilräume gegebener Dimension es in einem bestimmten Vektorraum gibt, wie man von da aber jetzt zu einer Parametrisierung kommt, verstehe ich noch nicht so wirklich. Ich würde mich über schnelle Hilfe sehr freuen!
09.01.2018, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe alle Teilräume auf, mehr kann man nicht machen. Wie hast du das mit der Dimension gemacht ohne eine Übersicht über alle Teilräume zu haben ? Was von dir erwartet wird, kann man nicht wissen, solange man nicht weiß, was der Aufgabensteller unter Parametrisieren versteht.
09.01.2018, 19:07	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke es ist so gemeint, dass man die Basen aufschreiben soll zu den Teilräumen, da es aber unendlich viele Elemente in K geben kann macht man das mit Parametern, wie genau das funktionieren soll verstehe ich allerdings nicht. Das mit der Dimension bezieht sich auf endliche Körper, deshalb nutzt es mir hier leider nichts, da kann man die Anzahl der Teilräume durch die Anzahl der Elemente berechnen.
09.01.2018, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke auch, dass es so gemeint ist. Wenn ich dich bitte, alle Teilräume aufzuschreiben, brauchst du nur zu jedem Teilraum eine Basis aufschreiben, denn dadurch ist der Teilraum eindeutig bestimmt. Ich halte das für eine unschlagbar gute Parametrisierung. Sie funktioniert für endliche ebenso gut wie für unendliche Körper.
09.01.2018, 20:59	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie erschließt sich mir nicht, wie das gehen soll, wie weiß ich denn welche Parameter den Teilraum bestimmen sollen. Ich stehe da wahrscheinlich ziemlich auf dem Schlauch, aber es wäre sehr nett, wenn du an einem Beispiel wie z.B. nur die ein- oder zweidimensionalen Teilräume erklären könntest, was da von mir erwartet wird.
09.01.2018, 21:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine Basis B von V. Jede Teilmenge von B ist eine Basis eines Untervektorraums.
Anzeige

10.01.2018, 11:28	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das erscheint mir sinnvoll, habe ich jetzt gemacht, aber wo bleiben denn dann die Parameter? Es tut mir wirklich leid, dass ich mich so anstelle, aber diese Aufgabe ist irgendwie ganz komisch
10.01.2018, 11:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff Parameter ist nicht definiert, das kann also irgend etwas bedeuten. Der Duden schränkt den Begriff Parameter in der Mathematik sehr ein, in der Technik sagt der Duden : "(besonders Technik) in technischen Prozessen o.Ä. kennzeichnende Größe, mit deren Hilfe Aussagen über Aufbau, Leistungsfähigkeit von etwas, z.B. einer Maschine, eines Gerätes o.Ä., gewonnen werden." Wir gewinnen mit Hilfe der Basen Aussagen über die Vektorräume, daher sind die Basen die Parameter der Vektorräume. Das passt doch hervorragend zur Parameterdefinition des Duden. Also sagen wir einfach, dass die $\begin{eqnarray} 2^{(n^2)} \end{eqnarray}$ Standardbasen die Untervektorräume von $\begin{eqnarray} K^{n\times n} \end{eqnarray}$ parametrisieren.
10.01.2018, 12:28	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt gut. Vielen dank, dann mache ich es so.
10.01.2018, 13:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiß nicht, die $\begin{eqnarray} 2^{(n^2)} \end{eqnarray}$ Standardbasen der $\begin{eqnarray} 2^{(n^2)} \end{eqnarray}$ Untervektorräume von $\begin{eqnarray} K^{n\times n} \end{eqnarray}$ aufzuschreiben, sonst glaubt dir niemand, dass du weißt, wovon du redest.
10.01.2018, 13:30	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin leider immer noch leicht verwirrt... Nehmen wir mal ein Beispiel zur Hand $\begin{eqnarray} K ^{1\times 4} \end{eqnarray}$ , das ist zwar keine $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ Matrix, aber der Unterschied sollte nicht allzu groß sein denke ich. Hier ist mir nämlich aufgefallen, dass nicht nur die vier Standardbasisvektoren 1-Dimensionale Teilräume aufspannen, sondern auch deren Linearkombinationen. Stimmt das oder sind das dann nur wieder Teilräume der Teilräume?
10.01.2018, 13:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} K^4 \end{eqnarray}$ hat genau $\begin{eqnarray} 2^4=16 \end{eqnarray}$ UVRe. Bei $\begin{eqnarray} K^{n\times n} \end{eqnarray}$ habe ich schon für dich berechnet, wieviele UVRe es gibt, das ist ja auch nicht wenig. Du sollst dich nicht verwirren lassen, du sollst mitdenken.
10.01.2018, 13:45	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau 16 Untervektorräume habe ich raus, ich denke, meine Verwirrungen haben sich auch gelegt. Vielen Dank für die geduldige Hilfe!
10.01.2018, 13:49	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage hätte ich allerdings noch. Wo bleibt hier die Anzahl der Elemente? In allen Formeln für die BEstimmung der Anzahl von UVRs war die Anzahl der Körperelemente ein Faktor, der die Anzahl der UVRs beeiflusst...
10.01.2018, 14:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu soll das gut sein ? Anzahl der Vektoren kann man nur bei endlichen Körpern berechnen. Jeder Vektorraum hat eine eindeutige Dimension, und die Vektorräume $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ haben eindeutige Standardbasen, unabhängig von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Diese Parameter sind universell, alle anderen sind von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ abhängig nur spezifisch zu ermitteln. Wenn du spezielle Probleme untersuchen möchtest, musst du diese benennen. Deine Aufgabe hieß "Parametrisieren sie die Teilräume von $\begin{eqnarray} K ^{n\times n} \end{eqnarray}$ ." , und in dieser Allgemeinheit kann man keine Elemente zählen.
10.01.2018, 17:05	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel aus $\begin{eqnarray} K^{1\times 4} \end{eqnarray}$ : Es bildet doch auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Basis eines 1-Dimensionalen Vektorraums, und dieser Vektor ist keine einelementige Teilmenge der Basis von $\begin{eqnarray} K^{1\times 4} \end{eqnarray}$ . Es tut mir leid, dass ich so schwer von Begriff bin, normalerweise bereiten mir solche Aufgaben auch keine so großen Schwierigkeiten, aber die hier verwirrt mich wirklich...
10.01.2018, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Dann sind es doch "ein paar mehr" UVRe als mir spontan eingefallen sind. Sorry, ich hab's versuppt. Dann musst du noch mal von vorne anfangen mit Nachdenken.
10.01.2018, 18:09	kaussi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache ich, dann weiß ich wenigstens, dass ich nicht ganz falsch lag, dass da noch was gefehlt hat. Danke trotzdem Vielleichz fällt ja dir oder wem anders noch eine bessere Antwort ein. Ich habe im Skript eine Bemerkung im Skript gefunden, wie man die Teilräume von $\begin{eqnarray} K^{1\times 3} \end{eqnarray}$ parametrisiert. Die machen das über die Zeilenräume, das verstehe ich allerdings auch nicht so ganz. Werde weiter drüber nachdenken und schauen, ob sich mir doch noch etwas erschließt.

Neue Frage »

Antworten »

Teilräume parametrisieren

Verwandte Themen