Leibniz-Kriterium

09.01.2018, 20:07

Mario2000

Leibniz-Kriterium

Meine Frage:
Guten Abend,
Ich untersuche die Reihe [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sinn}[\latex]
auf Konvergenz.

Ist meine Lösung so korrekt?

Meine Ideen:
Lösung folgt...

09.01.2018, 21:16

Mario2000

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RE: Leibniz Kriterium
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sin n} \end{eqnarray*}$

Konvergenz nach Leibniz
1) Die Folge ist alternierend positiv/negativ. Offensichtlich
2)Monoton fallend: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1+\sin n +1} - \frac{1}{n+\sin n} = \frac{n+\sin n - n -1 -\sin(n+1)} {\approx n^2}=\frac{-1+\sin n - \sin (n+1)}{\approx n^2}<\frac{-0.5}{\approx n^2}<0 \end{eqnarray*}$
3)Nullfolge
Positiv Nullfolge:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^{2n}}{2n+\sin 2n}<\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$
Somit geht die positive Teilfolge gemäss dem Minorantenkriterium gegen Null.
Negative Nullfolge:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1+\sin (2n-1)} >\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-1}{2n-2}=0 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert auch die negative Folge gegen 0.

Ich fasse Zusammen die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_n^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+ \sin n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gemäss Leibnitzkriterium.
Die Folge ist alternierend, monton fallend und sowohl die positive, wie auch die negative Teilfolge konvergieren gegen Null, also sind Nullfolgen.

09.01.2018, 21:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mario2000
$\begin{eqnarray*} \frac{-1+\sin n - \sin (n+1)}{\approx n^2}<\frac{-0.5}{\approx n^2} \end{eqnarray*}$

Was ist das für eine Abschätzung, die du hier meinst im Zähler durchzuführen? Erstaunt1

09.01.2018, 21:48

Mario2000

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Da sin(n) - sin(n+1) ist ungefähr sin(1), unmatematisch formuliert eine kleine Zahl, auf jeden Fall kleiner als 0.5. Weshalb ich einfach -1 +0.5 =-0.5 rechnete.
Ich wusste nicht, wie ich es auf einem anderen Weg approximieren kann. Lesen2

09.01.2018, 22:11

HAL 9000

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Nehmen wir mal $\begin{align*} n=34 \end{align*}$ , da ist $\begin{align*} \sin(n)-\sin(n+1) = \sin(34)-\sin(35) \approx 0.957 \end{align*}$ . Augenzwinkern

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Aber Ok, betrachten wir mal die Nennerfolge $\begin{align*} b_n=n+\sin(n) \end{align*}$ : Für die gilt gemäß Additionstheoremen

$\begin{align*} b_{n+1}-b_n = 1+\sin(n+1)-\sin(n) = 1+2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(n+\frac{1}{2}\right) \geq 1-2\sin\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.041 > 0 \end{align*}$ .

Damit ist $\begin{align*} (b_n)_{n\geq 1} \end{align*}$ eine streng monoton wachsende Folge positiver reeller Zahlen, welche wegen $\begin{align*} b_n\geq n-1 \end{align*}$ bestimmt gegen unendlich divergiert. Der Kehrwert $\begin{align*} a_n = \frac{1}{b_n} \end{align*}$ ist damit eine streng monoton fallende Nullfolge, Leibniz steht also tatsächlich nichts im Wege. Augenzwinkern

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