Aussagen für Folgen in Q,R,C

09.01.2018, 21:23	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen für Folgen in Q,R,C Hi Leute, ich habe da ein paar Fragen: Welche von diesen Behauptungen stimmt in Q,R und C? 1) jede monotone, beschränkte Folge ist konvergent 2) jede Cauchyfolge ist konvergent 3) Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge 4) zu jedem Häufungspunkt gibt's eine konvergente Teilfolge 5) jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt Da wir in der Vorlesung teilweise zum Beweis die Supremumseigenschaft verwendet haben, sind es sicher nicht alle... komme aber auf keinen grünen Zweig. Danke und LG!
09.01.2018, 23:02	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo manuel, es gibt drei Aussagen, die stimmen einfach immer / folgen direkt aus der Definition / sind evtl. sogar in allgemeinerem Rahmen richtig. Dann gibt es zwei Aussagen, die von der Vollständigkeit des jeweiligen Raumes abhängen. LG sibelius84
10.01.2018, 20:02	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
kannte den Begriff "Vollständigkeit" in diesem Zusammenhang nicht, ist dieser denn notwendig zur Beantwortung der Frage? LG
10.01.2018, 22:52	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok. Dann ist ganz wichtig der Satz: "Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen." (Diese Folge kann auch monoton gewählt werden.) Auf den reellen Zahlen hast du ja den Abstand zweier Zahlen definiert durch den Betrag: d(x,y) := \|x-y\| (d steht für "distance"). Später im Studium hat man manchmal auch Mengen bzw. Räume, auf denen ein Abstand anders definiert ist. So ein Raum, auf dem ein Abstand definiert ist (der gewissen sinnvollen Eigenschaften genügt, insbesondere der Dreiecksungleichung), heißt metrischer Raum. Und ein metrischer Raum heißt eben vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergent ist. Also: Wenn sich die "späten Folgenglieder" einer Folge "unendlich nah" zusammenziehen, dann tun sie das um einen Punkt x herum, der auch in diesem Raum liegt (und dann also der Grenzwert ist). Der Raum enthält zu jeder Cauchyfolge einen Grenzwert und ist daher vollständig. Die reellen Zahlen, sowie auch der Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ (mit dem gewöhnlichen Abstand $\begin{eqnarray} d(v,w):=\sqrt{(v_1-w_1)^2+\ldots+(v_n-w_n)^2} \end{eqnarray}$ ) sind vollständig. Dasselbe gilt auch für die komplexen Zahlen sowie den $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ . Für die rationalen Zahlen gilt das nicht, betrachte etwa $\begin{eqnarray} x=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_n:=\frac{\lfloor 10^nx \rfloor}{10^n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lfloor y \rfloor \end{eqnarray}$ := größter ganzer Anteil von y. Bekanntlich gilt ja $\begin{eqnarray} \mathbb Q \not\ni \sqrt 2 = 1,414\ldots \end{eqnarray}$ . Für unsere Folgenglieder gilt nun aber $\begin{eqnarray} x_1=1,4 = \frac{14}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=1,41= \frac{141}{100} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=1,414= \frac{1414}{1000} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vdots \end{eqnarray}$ Sie besteht also ausschließlich aus rationalen Folgengliedern. Dies zeigt, dass die rationalen Zahlen nicht vollständig sind.
10.01.2018, 23:15	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe, vielen Danke für die anschauliche Erklärung!! liege ich dann damit richtig, dass folgende Aussagen falsch sind: 3) jede Cauchyfolge ist konvergent. Falsch weil die Folge n->(1+1/n)^n hat bekanntlich den Grenzwert e. Dieser liegt nicht in Q, wonach die Folge nicht konvergent in Q ist. 1) jede monotone beschränkte Folge ist konvergent klarerweise da C nicht anordenbar richtig so? Meint man denn mit "konvergent" immer "konvergent im Bildbereich"? Wäre dann ja streng genommen unsauber nur "konvergent" zu sagen. LG
10.01.2018, 23:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, da sagst du was mit "C nicht anordenbar". Dann würde ich sagen: Aussage (1) ist in Q falsch, in R richtig, und in C nicht definiert. Dein Beispiel zu (3) ist sauber. Man meint mit konvergent eigentlich immer "konvergent in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ " bzw. "konvergent in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ".
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