Unterräume

09.01.2018, 23:04	Carpo44	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume Meine Frage: 1. Definition. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine additiv geschriebene abelsche Gruppe mit Nullelement $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Die Elemente $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ einer Teilmenge $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sind fast alle Null, falls es in $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ nur endlich viele Elemente $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ gibt. Ist $\begin{eqnarray} T = \{ a_{\alpha} \vert \alpha \in \mathcal{A} \} \end{eqnarray}$ für eine Indexmenge $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ , so sagt man auch, dass $\begin{eqnarray} a_{\alpha} = 0 \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ ist. Diese Definition wird im folgenden auf Teilmengen $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ eines $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , wie auch auf Teilmengen $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ des Körpers $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ angewendet. 2. Definition Es sei $\begin{eqnarray} \{U_{\alpha} \vert \alpha \in \mathcal{A} \} \end{eqnarray}$ ein System von Unterräumen $\begin{eqnarray} U_{\alpha} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ derart, dass die Zuordnung $\begin{eqnarray} \alpha \mapsto U_{\alpha} \end{eqnarray}$ injektiv ist. Die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{\alpha \in \mathcal{A}}U_{\alpha} \end{eqnarray}$ der Unterräume $\begin{eqnarray} U_{\alpha} \end{eqnarray}$ ist die Menge $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{\alpha \in \mathcal{A}} U_{\alpha} = \{ v = \sum_{\alpha \in \mathcal{A}}u_{\alpha} \in V \vert u_{\alpha} \in U_{\alpha} \text{ für alle } \alpha, \text{ } u_{\alpha}=0 \text{ für fast alle } \alpha \in \mathcal{A} \}. \end{eqnarray}$ Dabei ist die Anzahl der von Null verschiedenen Summanden abhängig vom Element $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich denke, die erste Definition ist mir klar. Ich habe sie trotzdem hingeschrieben, weil sie in der zweiten Definition verwendet wird. Was mich dann irritiert ist, dass die Indexmenge von den Unterräumen $\begin{eqnarray} U_{\alpha} \end{eqnarray}$ die gleiche ist, wie die Indexmenge der Elemente $\begin{eqnarray} u_{\alpha} \end{eqnarray}$ . Heisst das dann: $\begin{eqnarray} u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \end{eqnarray}$ usw.? (Zweitletzte Zeile der Frage). Es sind wohl nur endlich viele $\begin{eqnarray} u_{\alpha} \neq 0 \end{eqnarray}$ , aber ich verstehe nicht, wie diese Summe gebildet wird.
16.01.2018, 14:05	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Carpo44, falls deine Frage nach einer Woche noch aktuell ist: Ja, $\begin{eqnarray} u_1\in U_1, u_2\in U_2, \end{eqnarray}$ usw.; eben, wie es auch in der von dir abgedruckten Definition steht, $\begin{eqnarray} u_\alpha\in U_\alpha \;\forall \alpha\in\mathcal A \end{eqnarray}$ . Nun, wie wird diese Summe gebildet? Wir können uns ja als Beispiel mal den Vektorraum $\begin{eqnarray} V=K[X] \end{eqnarray}$ aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Körper K anschauen und hier die Indexmenge $\begin{eqnarray} \mathcal A := 2\mathbb N_0 = \{0,2,4,\ldots\} \end{eqnarray}$ sowie die eindimensionalen UVRe $\begin{eqnarray} U_\alpha := \langle X^\alpha \rangle \end{eqnarray}$ und deren Summe $\begin{eqnarray} S:= \sum_{\alpha\in\mathcal A}U_\alpha \end{eqnarray}$ . Nehmen wir uns mal ein $\begin{eqnarray} s\in S \end{eqnarray}$ . Wenn man nun zuließe, dass z.B. $\begin{eqnarray} s= 1 + X^2 + X^4 + \ldots = \sum_{k=0}^\infty X^{2k} \end{eqnarray}$ (also nicht nur endlich viele, sondern unendlich viele $\begin{eqnarray} u_\alpha \neq 0 \end{eqnarray}$ ), so wäre s kein Polynom mehr, sondern eine Potenzreihe und damit $\begin{eqnarray} s\notin K[X] \end{eqnarray}$ . Damit wir in $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ bleiben, muss gelten, dass fast alle Summanden 0, d.h. eben nur endlich viele Summanden ungleich Null sind; damit haben wir dann einen Unterraum von $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ . Hilft dir das, hatte ich dein Problem mit der Summenbildung richtig verstanden? Sonst frag noch mal nach. LG sibelius84
22.01.2018, 22:34	Carpo44	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich habe es dann schlussendlich auch so angenommen (also $\begin{eqnarray} u_{\alpha_1} \in U_{\alpha_1 } \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u_{\alpha_2} \in U_{\alpha_2} \end{eqnarray}$ für die Indexmenge $\begin{eqnarray} M=\{ \alpha_1, \alpha_2, ... \} \end{eqnarray}$ ) und bin mit dieser Annahme auch weiter gekommen. Es ging um direkte Summen. Vielen Dank für die Antwort sibelius84. Das praktische Beispiel war nochmals sehr hilfreich und ganz wichtig ist eben, dass nur endlich viele Summanden ungleich Null sind.

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