Summenzeichen vereinfachen / beweisen

10.01.2018, 09:04

OPunktSchmidt

Summenzeichen vereinfachen / beweisen

Meine Frage:
Hallo,

gegeben ist folgende Summenformel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} (2i - 1) \end{eqnarray*}$

1. Was fällt auf?
2. Wie kann man das vereinfachen?
3. Wie kann man es beweisen? Der Beweis ist nicht zu führen. (Ich denke, die Frage bezieht sich auf die vereinfachte Form gegenüber der Ursprungsform).

Meine Ideen:

1. Jeder Summand ist eine ungerade Zahl

2. Hier habe ich mir schwer getan. Meine Idee wäre diese:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i \in {\left\{ x \in N | x ist ungerade\right\} }}^{} (i) \end{eqnarray*}$

Meine Idee war also das ich eine Menge aufsummiere. Damit fällt zumindest die Rechnung (2i - 1) weg. Aber ist das wirklich einfacher?

3. Beweis durch vollständige Induktion indem man zeigt das (2i - 1) ein Element von $\begin{eqnarray*} i \in \left\{ x \in N | x ist ungerade\right\} \end{eqnarray*}$ ist. Also das (2i - 1) eine ungerade Zahl ist wenn $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Hättet ihr noch eine andere Idee?

10.01.2018, 09:16

HAL 9000

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Anscheinend geht es um $\begin{align*} \sum_{i=1}^n (2i-1) \end{align*}$ .

Und ich denke, bei 2. und 3. missverstehst du das (allerdings sehr nebulös vorgetragene) Anliegen des Autors: Du sollst sicher nicht mit der Definition der Summe rumspielen, sondern den Term "summensymbolfrei" schreiben, als Funktion von $\begin{align*} n \end{align*}$ . Und dazu schau dir mal die ersten paar Summenwerte an:

$\begin{align*} n=1 \end{align*}$ : $\begin{align*} \sum_{i=1}^1 (2i-1) = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} n=2 \end{align*}$ : $\begin{align*} \sum_{i=1}^2 (2i-1) = 1 + 3 = 4 \end{align*}$

$\begin{align*} n=3 \end{align*}$ : $\begin{align*} \sum_{i=1}^3 (2i-1) = 1 + 3 + 5 = 9 \end{align*}$

usw.

Da kann man schon auf eine Vermutung kommen, wie diese Funktion von $\begin{align*} n \end{align*}$ aussieht (das ist 2.) und diese Vermutung dann auch beweisen (das wäre 3.).

10.01.2018, 09:17

sixty-four

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RE: Summenzeichen vereinfachen / beweisen
Probier mal, ob du das beweisen kannst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 \end{eqnarray*}$

10.01.2018, 09:26

OPunktSchmidt

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Ah jetzt hat es klick gemacht. Ich habe krampfhaft versucht das Summen Symbol an sich zu vereinfachen anstatt es komplett aufzulösen.

Ich habe die Summe nur einmal für n = 5 ausgerechnet. Ich hätte es auch für 1,2,3,4 machen sollen, dann wäre mir auch eher aufgefallen das das Ergebnis scheinbar immer das Quadrat von n ist.

Zitat:

Original von sixty-four
Probier mal, ob du das beweisen kannst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 \end{eqnarray*}$

Ich werde es versuchen und mich dann eventuell nochmal hier melden.

Vielen Dank!

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