Kurvenintegral bestimmen

10.01.2018, 13:48

Sito

Kurvenintegral bestimmen

Tag zusammen

Sei $\begin{align*} f(z)=\frac{z+2}{z^2-4z+3} \end{align*}$ und $\begin{align*} C\subset \mathbb{C} \end{align*}$ ein Kreis in der komplexen Ebene, welcher durch keinen der Pole von $\begin{align*} f \end{align*}$ geht. Man berechne nun $\begin{align*} \int_{\partial C} \frac{f'(z)}{f(z)}\dd z \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} \partial C \end{align*}$ der Rand des Kreises ist.

Nach einer langen Rechnung und mit Hilfe des Residuensatzes bin ich dazu gekommen, dass das Integral gerade Null gibt... Gibt es eine Möglichkeit auf das Resultat zu kommen ohne explizit zu rechnen? Die Residuen von $\begin{align*} f \end{align*}$ sind aus einer vorherigen Teilaufgabe bekannt..

Gruss Sito

10.01.2018, 14:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, zur Klarstellung: $\begin{align*} C \end{align*}$ ist kein Kreis, sondern eine Kreisscheibe, oder?

Es macht einen gewaltigen Unterschied, ob ein Kreis nicht durch irgendwelche Polstellen geht, oder die zugehörige Kreisscheibe keine Polstellen enthält - ich denke mal, letzteres ist hier gemeint.

10.01.2018, 14:35

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Der genau Wortlaut:

Let $\begin{align*} C\subset \mathbb{C} \end{align*}$ be a circle in the complex plain which does not pass trough any of the zeros or poles of $\begin{align*} f \end{align*}$ . Calculate all possible values of the contour integral $\begin{align*} \int_{\partial C} \frac{f'(z)}{f(z)}\dd z \end{align*}$ taken with counter-clockwise orientation.

Tut mir Leid für die schlechte Formulierung.

10.01.2018, 14:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sito
Let $\begin{align*} C\subset \mathbb{C} \end{align*}$ be a circle in the complex plain which does not pass trough any of the zeros or poles of $\begin{align*} f \end{align*}$ .

Wichtige Info, die du oben unterschlagen hast.

Denn $\begin{align*} \frac{f'(z)}{f(z)} \end{align*}$ hat als Polstellen nur die Polstellen von $\begin{align*} f \end{align*}$ zuzüglich dessen Nullstellen, somit ist diese Funktion holomorph auf deinem $\begin{align*} C \end{align*}$ , und das Integral darüber per Cauchyschen Integralsatz gleich Null.

10.01.2018, 17:03

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das war definitiv mein Fehler.

Was ich aber nicht verstehe, wie kannst du aus der Aufgabenstellung schliessen, dass keine Polstelle in $\begin{align*} C \end{align*}$ liegt. Es heisst ja nur, dass die Kurve nicht durch die Nullstellen/Polstellen geht, oder verstehe ich hier die Aufgabe falsch?

10.01.2018, 18:15

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist in der Tat merkwürdig formuliert. Für mich klingt es so, als ob $\begin{align*} C \end{align*}$ die Kreislinie wäre. Aber vielleicht ist auch mein Englisch nicht gut genug und ich denke zu sehr vom Deutschen her. Denn "a circle which does not pass through" würde ich als "ein Kreis, der nicht durch ... geht" verstehen. Und das würde man doch niemals von einer Kreisscheibe, sondern nur von einer Kreislinie sagen - wie gesagt, im Deutschen. Im übrigen, erinnere ich mich, nimmt man im Englischen auch "disk", wenn man die Kreisscheibe meint. Wenn aber $\begin{align*} C \end{align*}$ die Kreislinie ist, warum wird dann beim Integral $\begin{align*} \partial C \end{align*}$ geschrieben? Vielleicht nur eine kleine Unaufmerksamkeit des Aufgabenstellers.
Wenn ich die Aufgabe eher von ihrem Zweck angehe, dann ist es nötig vorauszusetzen, daß auf dem Integrationsweg keine Singularitäten des Integranden liegen, damit das Integral überhaupt existiert. Und der Inhalt der Aufgabe ist das sogenannte "Prinzip des Arguments".

11.01.2018, 14:16

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis zum "Prinzip des Arguments", das vereinfacht die Aufgabe natürlich ungemein!

11.01.2018, 14:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Und der Inhalt der Aufgabe ist das sogenannte "Prinzip des Arguments".

Ah ja, das war's. smile

Zitat:

Original von HAL 9000
Denn $\begin{align*} \frac{f'(z)}{f(z)} \end{align*}$ hat als Polstellen nur die Polstellen von $\begin{align*} f \end{align*}$ zuzüglich dessen Nullstellen, somit ist diese Funktion holomorph auf deinem $\begin{align*} C \end{align*}$ , und das Integral darüber per Cauchyschen Integralsatz gleich Null.

Das entspricht dann dem einfachen Spezialfall $\begin{align*} N=0,P=0 \end{align*}$ (mit den Bezeichnungen des Wiki-Artikels zum "Prinzip des Arguments"). Hatte ja oben angenommen, dass du nur den meinst, zumal nach diesem Post

Zitat:

Original von Sito
Nach einer langen Rechnung und mit Hilfe des Residuensatzes bin ich dazu gekommen, dass das Integral gerade Null gibt...

Was ja allgemein eben nicht stimmt, wenn sich Pol- oder Nullstellen im Innern von C befinden.

Neue Frage »

Antworten »

Kurvenintegral bestimmen

Verwandte Themen