Grenzwertbestimmung

10.01.2018, 15:01

Ricket

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Grenzwertbestimmung

Guten Tag,

ich hätte da zu ein paar Grenzwertbestimmungen Fragen und hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen ...

i)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{3x-9}{x^{2}-9 } = \lim_{x \to 3} \frac{3*(x-3)}{(x-3)*(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{3}{x+3} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

ii)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{2x^{2}+2x-4 }{x-1} \end{eqnarray*}$

iii)
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x| } \end{eqnarray*}$

bei ii und iii würden ja jeweils die Nenner in dem Bereich 0 werden und es somit keine Lösung geben.
Wäre es ausreichend zu schreiben, dass die bei 1(ii) und 0(iii) nicht definiert oder muss ich das anders zeigen?

Vielen Dank schonmal
mfg

10.01.2018, 15:08

G100118

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RE: Grenzwertbestimmung
$\begin{eqnarray*} 2x^2+2x-4= 2(x^2+x-2)= 2(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$

iii) Fallunterscheidung machen für: x>0, x<0

10.01.2018, 15:10

Matt Eagle

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RE: Grenzwertbestimmung
Bei ii) kannst Du eine Polynomdivision durchführen.

Bei iii) könntest Du mal spezielle Folgen, die jeweils 'rechtsseitig' bzw. 'linksseitig' gegen 0 konvergieren, einsetzen und gucken was passiert.

10.01.2018, 15:18

Ricket

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Okay vielen Dank.

bei ii dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{2x^{2}+2x-4 }{x-1}= \lim_{x \to 1} \frac{2*(x^{2}+x-2 }{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{2*(x-1)*(x+2)}{x-1} =\lim_{x\to 1} 2x+4 = 6 <br /> \end{eqnarray*}$

und iii vllt so?
1. Fall x>0
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x| } = 1 \end{eqnarray*}$

2. Fall x<0
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x| } = -1 \end{eqnarray*}$

ich denke, dass dürfte so aber nicht reichen

10.01.2018, 15:23

klarsoweit

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Nun ja, bei den Fällen in Aufgabe iii solltest du den Betrag auflösen, um das Ergebnis etwas stärker zu untermauern. smile

smile

10.01.2018, 15:34

Ricket

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Okay

Hammer

verwirrt

1. Fall x>0

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{x } = 1 \end{eqnarray*}$

2. Fall

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{-x } = -1 \end{eqnarray*}$

Meintest du so? geschockt

geschockt

Sollte das so stimmen, hab ich doch aber immernoch nicht gezeigt, was bei x=0 passiert?
Muss ich das noch extra aufführen?

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10.01.2018, 15:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ricket
Meintest du so? geschockt

geschockt

Ja.

Freude

Zitat:

Original von Ricket
Sollte das so stimmen, hab ich doch aber immernoch nicht gezeigt, was bei x=0 passiert?
Muss ich das noch extra aufführen?

Nee, der Fall x=0 ist uninteressant für die Grenzwertbildung. smile

smile

10.01.2018, 15:43

Ricket

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Okay vielen Dank.

Eine Aufgabe hätte ich da noch.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{\sin(x) }{x} \end{eqnarray*}$

Durch einsetzen weiß ich , dass es sich der 0 nähert ..
Aber wie kann ich das Zeigen? Jemand einen Tipp ? verwirrt

verwirrt

10.01.2018, 15:44

klarsoweit

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Nutze die Beschränktheit von sin(x) und das Sandwich-Lemma. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2018, 15:49

willyengland

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nee, der Fall x=0 ist uninteressant für die Grenzwertbildung. smile

smile

Heißt das dann, dass der Grenzwert nicht existiert?

10.01.2018, 15:52

klarsoweit

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OK, meine Antwort war ungenau. Es existieren (nur) der links- und der rechtsseitige Grenzwert. Da diese nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

10.01.2018, 16:06

Ricket

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nutze die Beschränktheit von sin(x) und das Sandwich-Lemma. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab es mal versucht:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x) }{x} = f(x) \end{eqnarray*}$

Beschränktheit von sinus

$\begin{eqnarray*} -1 < sin(x) < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} < \frac{\sin(x) }{x} < \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) < f(x) < h(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } g(x) = 0 , \lim_{x \to -\infty } h(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Daher nach Sandwich-Lemma
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

10.01.2018, 16:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ricket
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} < \frac{\sin(x) }{x} < \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Wäre goldrichtig, wenn es um $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ gehen würde, etwa beim Grenzübergang $\begin{align*} x\to\infty \end{align*}$ .

Hier geht es aber um $\begin{align*} x\to -\infty \end{align*}$ , und da lautet diese Doppelungleichung für das hier relevante $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} < \frac{\sin(x)}{x} < -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Auf der sicheren Seite stehst du, wenn du mit Beträgen arbeitest:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{|x|} < \frac{\sin(x)}{x} < \frac{1}{|x|} \end{eqnarray*}$

10.01.2018, 16:17

Ricket

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Dankeschön, ergibt Sinn smile

smile

.

Also wenn ich bei mir
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{|x| } < \frac{\sin(x) }{x} < \frac{1}{|x| } \end{eqnarray*}$

schreiben würde, wäre die Aufgabe so richtig gelöst? :-)

10.01.2018, 16:23

HAL 9000

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Bei entsprechenden Verweis auf das Sandwich-Lemma: Ja.

10.01.2018, 17:58

Ricket

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Okay danke smile

smile

Ist das bei diesem Grenzwert so richtig?
$\begin{eqnarray*} <br /> n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} -1}{x-1} = \frac{1^{n}-1 }{1-1} = \frac{0}{0} = n.d.<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Und dann noch eine Frage zu einem anderen Thema.
Ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich das unter dem Thema hier machhe.

Ich soll zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} x^{3} -15x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ im Intervall [-4,4] drei Lösungen besitzt.
Ich hab diese Gleichung nicht gelöst bekommen und es anders versucht.

$\begin{eqnarray*} f(-4)= -4^{3}-15*(-4)+1 = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-2) = 23 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2) =-21 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4) = 5 \end{eqnarray*}$

Daher muss eine Nullstelle zwischen -4 und -2 liegen, eine zwischen 0 und 2, und eine zwischen 2 und 4.
Also insgesamt 3 Lösungen.

Denkt ihr dieser Weg wird akzeptiert, da es da sicher einen einfacheren geben würde.

10.01.2018, 18:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ricket
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{n} -1}{x-1} = \frac{1^{n}-1 }{1-1} \end{eqnarray*}$

Da hast du den Grenzwertbegriff nicht verstanden: Der besteht nicht darin, einfach nur den Wert einzusetzen. unglücklich

unglücklich

Tatsächlich hilft hier z.B. die Faktorisierung $\begin{eqnarray*} x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ .

10.01.2018, 19:08

Ricket

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Okay, danke. Wäre auch zu schön gewesen smile

smile

dann kommt da als Grenzwert n raus oder?

Was sagst du zu der anderen Aufgabe?
Kann ich das so zeigen?

10.01.2018, 19:14

HAL 9000

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Du hast per Zwischenwertsatz (den solltest du erwähnen) gezeigt, dass es in diesem Intervall mindestens drei Nullstellen gibt. Dass es nicht mehr sind solltest du anderweitig wissen: Eine nichtkonstante Polynomfunktion $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Grades hat maximal $\begin{align*} n \end{align*}$ Nullstellen.

Wesentlich einfacher? Nun, du kannst auf einen der beiden Funktionswerte f(-2) oder f(0) getrost verzichten, aber sonst sehe ich kaum Einsparpotential.

10.01.2018, 19:17

Ricket

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Okay, danke.
Ich war mir nicht sicher, ob man die Aufgabe so lösen kann, oder ob man die Gleichung irgendwie lösen muss.

Dickes Dankeschön an alle für eure Hilfe und Geduld ^^.
Thread kann geschlossen werden.

10.01.2018, 20:33

Ricket

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Okay, ich hab doch noch eine Frage, bei der es mir schon peinlich ist, diese zu stellen ...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2} }{x+1} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2} }{x} + \frac{x^{2} }{1} =\lim_{x \to \infty } x + x^{2} = \lim_{x \to \infty } x*(x+1) = \infty \end{eqnarray*}$

Darf man das? unglücklich

unglücklich

Hammer

10.01.2018, 20:47

Mitleser

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Du kannst dir die Frage (für deine Umformung in zwei Brüche) auch selbst beantworten, indem du einfach mal Zahlen für x einsetzt und guckst, ob dasselbe rauskommt.

10.01.2018, 21:02

Ricket

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Okay, dann steh ich da gerade auf dem Schlauch ^^.
Hat einer einen tipp für mich? smile

smile

10.01.2018, 21:45

Dmpartyrock

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Zitat:

Original von Ricket
Okay, ich hab doch noch eine Frage, bei der es mir schon peinlich ist, diese zu stellen ...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2} }{x+1} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^{2} }{x} + \frac{x^{2} }{1} =\lim_{x \to \infty } x + x^{2} = \lim_{x \to \infty } x*(x+1) = \infty \end{eqnarray*}$

Darf man das? unglücklich

unglücklich

Hammer

Ich gehe mal davon aus du kennst schon die Grenzwertgesetze.Hilft dir das weiter?

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{x+1} = \frac{x^{2}-1+1 }{x+1} = \frac{x^{2}-1^{2}+1 }{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)+1 }{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} + \frac{1 }{x+1} \end{eqnarray*}$

10.01.2018, 21:51

Ricket

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Vielen Dank.
Ja, das hilft mir weiter.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}+1-1 }{x+1} = \frac{x^{2}-1^{2}+1 }{x+1} \end{eqnarray*}$

das 1-1 denkst du dir dazu, da es quasi nichts ändert oder?

11.01.2018, 06:47

Dmpartyrock

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Genau.

Wink

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