Beweis nicht surjektiv

10.01.2018, 16:14	NicoBe	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis nicht surjektiv Hallo, ich habe folgende Funktion: $\begin{eqnarray} g: \mathbb N \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \mathbb N ^{\mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(n) = f_{n} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f_{n} : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=nx \end{eqnarray}$ . Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nicht surjektiv ist. Mein Ansatz: Annahme: $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb N^{\mathbb N}: \exists m \in \mathbb N : g(m)=n \end{eqnarray}$ und dann einen Wiederspruch führen. Hier komme ich allerdings nicht weiter. Wie komme ich aus dieser Formel zum Wsp.? LG
10.01.2018, 16:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du auch nur einigermaßen die Konstruktion oben verstehst, sollte diese Aufgabe geradezu lächerlich einfach sein: Oben tauchen doch als Funktionswerte von $\begin{align} g \end{align}$ nur die linearen Funktionen $\begin{align} f_n(x)=nx \end{align}$ auf. Damit genügt z.B. die Angabe irgend einer (!) nichtlinearen Funktion $\begin{eqnarray} f:\;\mathbb N \to \mathbb N \end{eqnarray}$ , da lässt sich doch gewiss eine finden.
10.01.2018, 18:27	NicoBe	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 Ich danke dir für die schnelle Antwort. Aber ich glaube, ich habe gerade ein Brett vor dem Kopf. Meine Idee wäre jetzt, ein m zu finden, sodass gilt: $\begin{eqnarray} g(m) \neq n \end{eqnarray}$ Da aber $\begin{eqnarray} m,n,x \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , ergibt sich für mich gerade kein Ansatz. LG
10.01.2018, 18:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich befürchtet habe: Du hast die Konstruktion oben nicht verstanden: Funktionswert $\begin{eqnarray} g(m) \end{eqnarray}$ ist keine natürliche Zahl, sondern eine Funktion $\begin{eqnarray} \mathbb{N}\to \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Die Bezeichnung $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist synonym für die Menge solcher Funktionen.

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