Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren in C^2 für folgende Matrix

11.01.2018, 14:37

c0c0puff

Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren in C^2 für folgende Matrix

Meine Frage:
Hallo an alle ich stehe vor folgender Aufgabe. Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die folgende MAtrix

$\begin{eqnarray*} M=\begin{bmatrix}1 & 2i \\ -2i & 1\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} M\cdot\vec{x} &= \lambda\vec{x}\\ M\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x} &= 0 \\ (M\cdot\vec{x} - \Lambda\cdot E)\vec{x} &= 0 \\ (\begin{bmatrix}1 & 2i \\ -2i & 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{bmatrix})\vec{x} &= 0\\ (\begin{bmatrix}1-\lambda & 2i \\ -2i & 1-\lambda\end{bmatrix}&= 0\\ \end{eqnarray*}$
Sei nun:
$\begin{eqnarray*} M'=\begin{bmatrix}1-\lambda & 2i \\ -2i & 1-\lambda\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne jetzt:

$\begin{eqnarray*} \det(M')&= (1-\lambda)^2 - (2i\cdot 2i)\\ \det(M')&= 1-2\lambda + \lambda^2 - (-4i^2)\\ \det(M')&= 1-2\lambda + \lambda^2 - (-4i^2)\\ \det(M')&= \lambda^2 -2\lambda + 1 - (+4)\\ \det(M')&= \lambda^2 -2\lambda + 1 -4\\ \det(M')&= \lambda^2 -2\lambda -3\\ \end{eqnarray*}$
Setze nun die Gleichung = 0
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 -2\lambda -3 &= 0\\ \lambda^2 -2\lambda &= 3\\ \lambda^2 -2\lambda +1 &= 4\\ (\lambda - 1)^2 &= 4\\ \lambda - 1 &= 2\\ \lambda &= 1 \pm 2\\ \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 3 ~ \wedge ~ \lambda_{2} = -1 \end{eqnarray*}$

Berechne jetzt die Matrix für den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} M'_{\lambda_{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M'_{\lambda_{2}}&=\begin{bmatrix}1-\lambda_{2} & 2i \\ -2i & 1-\lambda_{2}\end{bmatrix}\\ M'_{\lambda_{2}}&=\begin{bmatrix}2 & 2i \\ -2i & 2\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Stelle jetzt das Gleichungssystem auf:
$\begin{eqnarray*} M'_{\lambda_{2}}\cdot\vec{x}&=0 \\ \begin{bmatrix}2 & 2i \\ -2i & 2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_0 & x_1\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} I) 2x_0 + 2ix_1 &= 0 \\ II) -2ix_0 + 2x_1 &= 0 \\ \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt die Gleichung 1 benutze zum ausrechnen
$\begin{eqnarray*} I) x_0 + ix_1 &= 0 \\ II) x_0 &= -ix_1 \end{eqnarray*}$

Ab hier komm ich nicht mehr weiter... Wenn ich die Gleichungen umstelle bekomme ich irgendwann immer nur raus $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

11.01.2018, 14:54

klarsoweit

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RE: Finden Sie Eigenwerte und Eigenvektoren in C^2 für folgende Matrix

Zitat:

Original von c0c0puff
Berechne jetzt:

$\begin{eqnarray*} \det(M')&= (1-\lambda)^2 - (2i\cdot 2i) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \det(M')&= (1-\lambda)^2 - (-2i \cdot 2i) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von c0c0puff
Wenn ich jetzt die Gleichung 1 benutze zum ausrechnen
$\begin{eqnarray*} II) x_0 &= -ix_1 \end{eqnarray*}$

Ab hier komm ich nicht mehr weiter... Wenn ich die Gleichungen umstelle bekomme ich irgendwann immer nur raus $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

Setze x_1 = 1 . Bestimme dann x_0 . Dann hast du eine von Null verschiedene Lösung. smile

11.01.2018, 15:11

c0c0puff

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Hey schon mal danke für die Antwort. Ich habe es jetzt versucht mit $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ dann bekomm ich den Vektor $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ raus. Wenn ich aber dann schau und ich $\begin{eqnarray*} \lamdba_2\cdot (1,2) = (-1,-2) \end{eqnarray*}$ raus wenn ich es allerdings mit $\begin{eqnarray*} M'_{\lambda_2}(2+4i,-2i+4) \end{eqnarray*}$ und die sind ja nicht gleich

11.01.2018, 15:13

c0c0puff

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Sorry Fehler bei der letzten ausgabe bei der Seite mit dem Skalar bekomme ich (-1,-2) raus

11.01.2018, 15:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von c0c0puff
Ich habe es jetzt versucht mit $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ dann bekomm ich den Vektor $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ raus.

Wie das? Ich dachte x_0 ist dann gleich -i.

11.01.2018, 15:28

c0c0puff

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Ja genau wenn $\begin{eqnarray*} x_0=-i \end{eqnarray*}$ und ich das in die zweite Gleichung einsezte:

$\begin{eqnarray*} -2x_0i+2x_1=0~\Rightarrow~-x_0i + x_1 = 0~\Rightarrow~-i\cdot i + x_1 = 0 ~ \Rightarrow~ -i^2 + x_1 = 0~\Rightarrow~-(-1)+x_1 = 0~\Rightarrow~1 + x_1 = 0 ~\Rightarrow~ x_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Okay vorhin ein wenig verechnet verwirrt

aber es kommt ja dennoch (1,1) raus aber bei der Matrix sind doch auch die komplexe Werte dabei

11.01.2018, 15:35

klarsoweit

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Scherzkeks. Du hast für x_0 i und nicht -i eingesetzt. unglücklich

Noch eine kleine Verbesserung:

Zitat:

Original von c0c0puff
$\begin{eqnarray*} \lambda - 1 = 2 \end{eqnarray*}$

Hier muß es $\begin{eqnarray*} \lambda - 1 = \pm 2 \end{eqnarray*}$ heißen.

11.01.2018, 15:55

c0c0puff

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Um Gottes wille, dass war ein wenig dumm unglücklich

Aber ich glaube ich stehe noch auf dem Schlauch
$\begin{eqnarray*} -2x_0i+2x_1=0\\ -x_0i+x_1 = 0\\ -(-i)i + x_1 = 0\\ i^2 + x_1 = 0\\ -1 + x_1 = 0\\ x_1 =1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann jetzt rechne:

$\begin{eqnarray*} M'_{\lambda_{2}}(1,1)\\ \begin{bmatrix}1 & 2i\\ -2i & 1\end{bmatrix}(1,1)\\ (1 \cdot 1 + 2i \cdot 1, -2i \cdot 1 + 1 \cdot 1) &= (1+2i, -2i +1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \cdot (1,1) = -1(1,1) = (-1,-1) \end{eqnarray*}$

Ich verstehen mein Fehler irgendwie nicht
Aber $\begin{eqnarray*} (-1,-1) \neq (1+2i,-2i+1) \end{eqnarray*}$

11.01.2018, 15:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von c0c0puff
Wenn ich dann jetzt rechne:

$\begin{eqnarray*} M'_{\lambda_{2}}(1,1)\\ \begin{bmatrix}1 & 2i\\ -2i & 1\end{bmatrix}(1,1)\\ (1 \cdot 1 + 2i \cdot 1, -2i \cdot 1 + 1 \cdot 1) &= (1+2i, -2i +1) \end{eqnarray*}$

Was willst du denn mit dem Vektor (1, 1) ? verwirrt

(-i, 1) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 . Lehrer

11.01.2018, 16:28

c0c0puff

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Vielen Dank für deine Geduld! Gott

Irgendwie bin ich heute total daneben. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1 & 2i\\ -2i & 1\end{bmatrix}(-i,1)= (1 \cdot -i +2i, -2i \cdot i + 1 \cdot 1) = (i, -2i^2 +1 ) = (i, 3) \end{eqnarray*}$

Aber

$\begin{eqnarray*} \Lambda_{2}(-i,1)=-1(-i,1)=(i,1) \end{eqnarray*}$

traurig

11.01.2018, 16:49

klarsoweit

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Was rechnest du denn da? unglücklich

In der 2. Zeile muss es -2i * (-i) heißen.

Also: $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1 & 2i\\ -2i & 1\end{bmatrix}(-i,1) = (1 \cdot (-i) +2i, -2i \cdot (-i) + 1 \cdot 1) = (i, 2i^2 +1 ) = (i, -1) \end{eqnarray*}$

11.01.2018, 18:35

c0c0puff

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Um Gotteswillen, natürlich....

Ich danke dir vielmals Gott

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