Ursprungsfunktion der Fouriertransformierten

11.01.2018, 17:21

Studentu

Ursprungsfunktion der Fouriertransformierten

Hallo Community,
ich versuche, folgende zwei Aufgaben zu lösen, die von der Idee her wohl fast gleich sind:

(1) Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = (1-|x|)*\mathbb{I}_{[-1,1]}(x) \end{eqnarray*}$
a) Bestimme ihre Fouriertransformierte!
b) Liegt $\begin{eqnarray*} \hat{f} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ und/oder S (dem Schwartzraum)? Verwende dazu nur die Eigenschaften von f!
c) Berechne $\begin{eqnarray*} ||\hat{f}||_2 = ||f||_2 \end{eqnarray*}$ für f $\begin{eqnarray*} \in L^1 \cap L^2 \end{eqnarray*}$ .

Teil a) habe ich bereits gelöst. Meine FT ist $\begin{eqnarray*} \hat{f}(n) = \frac{\sqrt(2)}{\sqrt(\pi)\cdot n^2}(1-cos(n)) \end{eqnarray*}$
Zu Teil b) habe ich aber keine Idee, daher hoffe ich, ihr könnt mir da weiterhelfen. [F1]
Wieso ist bei dieser Funktion offenbar (wegen der Angabe c)) die Norm der FT gleich der Norm der Funktion? (Also ich meine, gehört diese Funktion zu einer speziellen Klasse von Funktionen, für die das der Fall ist?) [F2]

(2) Betrachte die Fkt $\begin{eqnarray*} \hat{f}(x) = sgn(x) \cdot exp(-|x|) \end{eqnarray*}$ .
a) Überprüfe: $\begin{eqnarray*} \hat{f}(x) \end{eqnarray*}$ kann nicht / kann / muss FT einer Fkt aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ sein.
b) Bestimme gegebenenfalls die ursprünglich Fkt, die $\begin{eqnarray*} \hat{f} \end{eqnarray*}$ als FT hat.

Teil a) habe ich nur teilweise geschaftt:
Ich habe das Riemann-Lebesgue-Lemma angewandt und begründet, dass die Funktion nicht aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ sein kann, weil die Fouriertransformation auf $\begin{eqnarray*} L^1(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ eine stetige lineare Abbildung nach $\begin{eqnarray*} C_0(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ ist, aber unsere FT im Punkt x=0 unstetig ist. Ist das korrekt? [F3]

Zur Frage bzgl. $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ aus a) fehlt mir leider jegliche Idee, ich hoffe, ihr könnt auch da helfen. [F4]

b) Ich habe die Fourierkotransformierte berechnet und als Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2ix}{\sqrt(2\pi)(x^2+1)} \end{eqnarray*}$ erhalten. Dabei wundert mich nun, dass eine Funktion, die nicht integrierbar ist, eine FT haben kann. Wisst ihr, was eine Funktion erfüllen muss, damit ihre FT existiert? [F5]

Ich kenne einen Satz, dass für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \leq q \end{eqnarray*}$ bei endlichen Maßen gilt, dass $\begin{eqnarray*} L^q \subset L^p \end{eqnarray*}$ ist. Nun ist das Lebesguemaß aber nicht endlich, sondern nur sigmaendlich. ...Gibt es auch einen ähnlichen Satz, der eine Auskunft im Falle Lebesguemaß über Beziehungen $\begin{eqnarray*} L^q \subset L^p \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) gibt? [F6]

13.01.2018, 16:57

Studentu

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Kennt sich mit Fouriertransformierten hier niemand aus?

13.01.2018, 17:32

IfindU

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RE: Ursprungsfunktion der Fouriertransformierten
Ich habe gerade nicht besonders viel Zeit, deswegen nur kurz:

F1: Die Fouriertransformation ist ein Automorphismus auf den Schwartz- und den L^2 Funktionen. D.h. Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Schwartzfunktion, so ist $\begin{eqnarray*} \widehat f \end{eqnarray*}$ eine und umgekehrt. Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ .
F2: Gilt immer. Siehe Satz von Parseval/Plancherel.

F3: Passt.
F4: Siehe Antwort auf F1.
F5: In a) hast du argumentiert, warum $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht in L^1 ist. Warum wundert es dich dann in b), dass sie nicht integrierbar ist.

F6: Nope. Beide Beziehungen sind im Allgemeinen falsch.

13.01.2018, 20:42

Studentu

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Hallo IfindU, vielen Dank! Deine kurze Antwort war genau die Info, die ich gebraucht habe.(:

Zu 1 b):
Es ist $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} |1-|x||^2 \cdot \mathbb I_[-1,1](x)\cdot \mathbb I_[-1,1](x) dx = 2 \cdot \int_{0}^1 (1-x)^2 dx = 2\cdot \int_{0}^1 x^2-2x+1dx = 2/3 \end{eqnarray*}$ ,
also ist die FT aus $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ .
Die FT kann aber nicht aus dem Schwartzraum sein, weil f nicht unendlich oft stetig differenzierbar ist.

zu 1 c):
Ist hier also das "für f aus $\begin{eqnarray*} L^1\cap L^2 \end{eqnarray*}$ " überflüssig?
Mit b) kennen wir ja dann schon die rechte Seite und erhalten $\begin{eqnarray*} ||\hat{f}||_2 = \sqrt{3/2} \end{eqnarray*}$ .

zu 2 a):
Wegen $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R}|sgn(x)\cdot exp(-|x|)|^2dx = 2\int_0^{\infty} e^{-2x}dx = 1 \end{eqnarray*}$ ist auch diese FT aus $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ .

zu F5: Es erstaunt mich einfach generell, dass die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} e^{-inx} \end{eqnarray*}$ aus nicht integrierbaren Funktionen f(x) integrierbar macht... Aber gewährleistet, dass eine Fkt aus $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ ist, dann auch automatisch, dass sie eine Fouriertransformierte besitzt? Oder wissen wir nur, falls sie eine Fouriertransformierte besitzt, dann ist diese auch aus $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ ? Und gibt es generelle Eigenschaften, aus denen man schließen kann, dass eine Fkt sicher fouriertransformierbar oder sicher nicht fouriertransformierbar ist?

14.01.2018, 08:55

IfindU

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Die ganzen Fragen haben einen Kern. Die Fouriertransformation ist erst einmal nur für $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ Funktionen definiert. Die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} e^{i nx } \end{eqnarray*}$ , bildet $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ wieder auf $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ ab. Nicht besser, nicht schlechter. Liegt daran, dass wir etwas mit Betrag 1 multiplizieren.

Deswegen steht bei 1c) $\begin{eqnarray*} f \in L^1 \cap L^2 \end{eqnarray*}$ , da man erst dann von $\begin{eqnarray*} \widehat f \end{eqnarray*}$ laut klassischer Definition reden kann. Sobald man aber die Normgleichheit in 1c) gezeigt hat, für $\begin{eqnarray*} f \in L^1 \cap L^2 \end{eqnarray*}$ , so kann man die Fouriertransformation auf $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ erweitern. Man definiert es nicht über ein Integral sondern:
Für $\begin{eqnarray*} f\in L^2 \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} L^1 \cap L^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_k \to f \end{eqnarray*}$ stark in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ .
Dann definiere (!) $\begin{eqnarray*} \widehat f = \lim_{k \to \infty} \widehat f_k \end{eqnarray*}$ . Das rechts sind klassische Fouriertransformierte, weil $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ auch eine integrierbare Funktion ist. Der Grenzwert existiert, die Definition ist wohldefiniert etc.
So definiert man Fourier in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ .
Wenn man das hat, kann man sogar Fourier von $\begin{eqnarray*} L^p \to L^q \end{eqnarray*}$ definieren, wenn $\begin{eqnarray*} p \in [1,2] \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \frac 1 p + \frac 1 q = 1 \end{eqnarray*}$ (Hölder-Duale von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

15.01.2018, 15:46

Studentu

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Cool, danke für die Erklärung der Definition der FT für $\begin{eqnarray*} L^2- \end{eqnarray*}$ Funktionen!

Geblieben sind nun noch folgende Fragen:
Ist diese Folgerung richtig?:
Ist f aus $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ (resp. S), dann hat f sicher eine FT, weil die FT eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ (resp. S) nach $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ (resp. S) ist. Ist f hingegen nicht aus $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ (resp. S), dann wissen wir nicht, ob eine FT exisitiert oder nicht, jedenfalls liegt sie, falls sie existiert, aber nicht in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ (resp. S).

Und stimmen meine Antworten zu Bsp. 1 b) und 2 a) ?

15.01.2018, 15:59

IfindU

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Zu der Folgerung:
Je nachdem wie man Fourier definiert, hat so ziemlich alles und jedes eine Fouriertransformation. (siehe temperierte Distributionen. Die besitzen Fourier-Transformationen und extrem viel fällt in die Kategorie.)
Ansonsten: Wenn $\begin{eqnarray*} f\in L^1 \end{eqnarray*}$ ist (der Raum ist größer als der Schwartzraum!), so besitzt es eine klassische FT. Alles andere ist Definitionsfrage.
Interessanter ist, wann eine Funktion eine Fouriertransformierte ist.Und auch da ist eben die Frage im welchem Sinne FT gemeint ist. Da weiß ich an Theorie nur das was du an Schwartz- und L^2 Funktionen gerade wiederholt hast.
Und im ersten Post hast du ja schon gesagt, dass eine $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ Funktion nur stetige, beschränkte Funktionen als FT haben kann.

1b) hätte ich nur gesagt ist beschränkt mit kompakten Träger, daher in jedem $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

2a) Ist richtig.

15.01.2018, 21:02

Studentu

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Danke für deine Hilfe, IfindU! Meine Fragen sind damit soweit beantwortet. smile

Mir hat sich allerdings noch eine weitere Frage aufgetan: Gibt es eine Möglichkeit, nur anhand der gegebenen Funktion zu erkennen, dass die FT (sofern sie existiert) sicher/sicher nicht aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist? (Wenn f nicht aus $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann $\begin{eqnarray*} \hat{f} \end{eqnarray*}$ sicher nicht aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ sein, weil die Fourierkotransformation $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ abbildet.)
Aber was, wenn f aus $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ ist (wie z.B. f(x) = $\begin{eqnarray*} \mathbb I_[-a,a](x) \end{eqnarray*}$ ) - gibt es da eine Möglichkeit, direkt zu erkennen, dass die FT nicht aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist, ohne dass man es nachprüft?

EDIT: und noch was: muss man, um zu zeigen, dass eine Fkt aus $\begin{eqnarray*} L^p \forall p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ ist, nur feststellen, dass sie beschränkt ist und kompakten Träger hat? Oder muss sie nicht nur beschränkt, sondern sogar stetig sein? (Und hat der Satz, der das besagt, einen Namen, weil ich hab ihn nicht im Internet gefunden?)

2. EDIT: Also es gilt nur die Implikation $\begin{eqnarray*} \hat{f} \notin C_0 \Rightarrow f \notin L^1 \end{eqnarray*}$ , aber nicht die Implikation $\begin{eqnarray*} \hat{f} \in C_0 \Rightarrow f \in L^1 \end{eqnarray*}$ , weil die FT den $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv auf $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ abbildet (oder schon?)?

und zu deiner Antwort auf meine Folgerung:
die FT wurde bei mir so definiert, dass wir die Sätze zeigen konnten, dass die FT zu einer surjektiven Isometrie von $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ fortgesetzt werden kann und dass die FT eine bijektive Abbildung von S nach S ist.
Aus diesen Sachverhalten folgt dann also schon, dass $\begin{eqnarray*} \hat{f} \in L^2 \Leftrightarrow f \in L^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \hat{f} \in S \Leftrightarrow f \in S \end{eqnarray*}$ oder?

16.01.2018, 13:08

IfindU

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Zitat:

Original von Studentu
Aber was, wenn f aus $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ ist (wie z.B. f(x) = $\begin{eqnarray*} \mathbb I_[-a,a](x) \end{eqnarray*}$ ) - gibt es da eine Möglichkeit, direkt zu erkennen, dass die FT nicht aus $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist, ohne dass man es nachprüft?

Was verstehst du unter $\begin{eqnarray*} \mathbb I_[-a,a](x) \end{eqnarray*}$ ? Wenn es die charakteristische Funktion ist, dann ist diese doch für kein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stetig.
Aber laut Google gibt es keine genaue Charakterisierung des Bildes der Fouriertransformation von L^1. Man weiss, dass es eine echte (!) Teilmenge von $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ ist. Man weiß sogar, dass es eine recht schöne Teilmenge ist (Borel, und sogar noch ein bisschen besser), aber aus praktischer Sicht vollkommen irrelevant. Bis du damit ein "Vielleicht war die Originalfunktion in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ " damit heraus bekommen hast, hast du 10 mal die Fourierkotransformation (in irgendeinem Sinne) gerechnet und es an der entsprechenden Funktion persönlich auf Integrierbarkeit geprüft.

Zitat:

EDIT: und noch was: muss man, um zu zeigen, dass eine Fkt aus $\begin{eqnarray*} L^p \forall p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} p = \infty \end{eqnarray*}$ ist, nur feststellen, dass sie beschränkt ist und kompakten Träger hat? Oder muss sie nicht nur beschränkt, sondern sogar stetig sein? (Und hat der Satz, der das besagt, einen Namen, weil ich hab ihn nicht im Internet gefunden?)

Die Funktion muss natürlich messbar sein, damit die Integrale existieren. Mehr nicht. Das folgt einfach aus der trivialen Abschätzung:
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi \in L^\infty({\mathbb R^n}) \end{eqnarray*}$ mit kompakten Träger $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} |\varphi(x)|\leq \|\varphi\|_{L^\infty} \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^n} |\varphi(x)|^p dx = \int_{K} |\varphi(x)|^p dx \leq \| \varphi\|_{L^\infty} \int_{K}1 dx = \| \varphi \|^p_{L^\infty} \mathcal L^n(K) \end{eqnarray*}$ .
Damit hat man gezeigt, dass für alle $\begin{eqnarray*} 1 \leq p < \infty \end{eqnarray*}$ Norm endlich ist.

Zitat:

Aus diesen Sachverhalten folgt dann also schon, dass $\begin{eqnarray*} \hat{f} \in L^2 \Leftrightarrow f \in L^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \hat{f} \in S \Leftrightarrow f \in S \end{eqnarray*}$ oder?

Jop. Und weil $\begin{eqnarray*} S \subset L^1 \end{eqnarray*}$ folgt dann sofort $\begin{eqnarray*} \hat{f} \in S \implies f \in L^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \in S \implies \hat{f} \in L^1 \end{eqnarray*}$ .

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